学而思高中题库完整版排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学生版

排列数组合数的计算与证明

知识内容

1．基本计数原理 ⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2?L?mn种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2?L?mn种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类

计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．

排列数公式：Amn?n(n?1)(n?2)L(n?m?1)，m，n?N?，并且m≤n．

全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列． n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示．规定：0!?1． ⑵组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．

组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．

n(n?1)(n?2)L(n?m?1)n!??组合数公式：Cm，m,n?N?，并且m≤n． nm!m!(n?m)!n?mmm?1组合数的两个性质：性质1：Cm；性质2：Cm．（规定C0n?Cnn?1?Cn?Cnn?1）

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⑶排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n个相同元素，分成m(m≤n)组，每组至少一个的分组问题——把n个元

1素排成一排，从n?1个空中选m?1个空，各插一个隔板，有Cnm??1．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！ 8．错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n?2，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

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排列数组合数的简单计算

【例1】 对于满足n≥13的正整数n，?n?5??n?6?...?n?12??（ ）

7812A．A7n?12 B．An?5 C．An?5 D．An?5

【例2】 计算Α37?______．

【例3】 计算A310，A66；

【例4】 计算C27?______，C57?_______．

【例5】 计算C3610，C8；

【例6】 计算A34348237，A10，C7，C50，C19?C19．

【例7】 已知Α4?1?140Α32nn，求n的值．

【例8】 解不等式Axx?28?6A8

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878【例9】 证明：A99?9A8?8A7?A8．

2【例10】 解方程A32x?100Ax．

xx?2?6A8【例11】 解不等式A8．

2【例12】 解方程：11C3x?24Cx?1

m?1m?3C8【例13】 解不等式：C8．

?5?【例14】 设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]?2，???1），对于给定的n?N?，定义

?4?xCn?n(n?1)L(n??x??1)?3?x???，则当x??，3?时，函数C8，x??1，的值域是

x(x?1)L(x??x??1)2??（ ）

?16??16?A．?,28? B．?,56?

?3??3?28?16??28???U,28C．?4,?U?28,56? D．?4,??? 333??????

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n、r?Z?恒等于（ ） 【例15】 组合数Crn?n?r≥1，A．

r?1r?1nr?1?1r?1nrC C． D．Cn?1 B．?n?1??r?1?CrCn?1 n?1n?1n?1

【例16】 已知Cmm?1m?2n?2:Cn?2:Cn?2?3:5:5，求m、n的值．

排列数组合数公式的应用

【例17】 已知Cn?3n?2?C2nn?1n20?C2021?C22?C21，求C21的值．

【例18】 若C2n?620?Cn?220,(n?N)，则n?_______

【例19】 若Cm?1n∶Cmn∶Cm?1n?3∶4∶5，则n?m?

【例20】 证明：nCkk?1n?(k?1)Cn?kCkn

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