第三章函数
3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 第2课时 函数的最大(小)值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可能是( ) A.2
综上知a=±2. 答案AB 2.函数y=x+√??-2的值域是( ) A.[0,+∞) 答案B 3.已知函数f(x)=-x+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( ) A.-1
2
2
B.-2 C.1 D.0
解析由题意a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.[√2,+∞)
解析函数y=x+√??-2在[2,+∞)上单调递增,所以其最小值为2.
B.0
2
C.1 D.2
解析∵f(x)=-x+4x+a=-(x-2)+4+a,
∴f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)min=f(0)=a=-2,∴f(x)max=f(1)=3+a=1.
答案C 4.已知定义在(0,+∞)上单调递减的函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有
f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是( )
A.(-∞,2) C.(1,2)
B.(1,+∞) D.(0,2)
解析令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1?f(x-1)>f(1).又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以{答案C 5.若函数f(x)=在区间[1,a]上的最小值为,则a= .
??4
1
1
??-1>0,
得1 ??-1<1, 解析∵f(x)=在区间[1,a]上单调递减, ??1 ∴函数f(x)的最小值为f(a)=??=4,∴a=4. 答案4 6.已知函数f(x)=x-2x+2. 2 11 (1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值; (2)若g(x)=f(x)-mx在[-1,2]上单调递增,求m的取值范围. 解(1)因为f(x)=x-2x+2=(x-1)+1, 而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)+1=10,f(3)=(3-1)+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10. (2)因为g(x)=f(x)-mx=x-(m+2)x+2,其对称轴为x=??+22 2 2 22 2 ??+22 .由函数在区间[-1,2]上单调递增可得 ≤-1,解得m≤-4.故m的取值范围是(-∞,-4]. 能力提升练 1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( ) A.90万元 C.120.25万元 B.120万元 D.60万元 2 2 解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30. 因为该函数图像的对称轴为x=2,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元. 答案B 2.已知函数f(x)=-x+2x+4在区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的值等于( ) A.-1 递减. 若m≤1,则函数在区间[0,m]上单调递增,其最小值为f(0)=-0+2×0+4=4>1,显然不合题意. 若m>1,则函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,m]上单调递减,故函数的最大值为f(1)=5. 而f(0)=-0+2×0+4=4>1.令f(m)=1,即-m+2m+4=1,也就是m-2m-3=0,解得m=-1或m=3.又因为 2 2 22 2 19 B.1 2 C.2 2 D.3 解析因为函数f(x)=-x+2x+4=-(x-1)+5,故函数在区间(-∞,1]上单调递增,在区间(1,+∞)上单调 m>1,所以m=3.故选D. 答案D 3.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“??”如下:当a≥b时,a??b=a;当a 211 2 B.[,2] 2 1 C.[2,3] 2 D.[-1,3] 2 解析当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4; 当1 2 3 所以f(x)={ ??-4,-2≤??≤1, ??3-4,1 3 易知,f(x)=x-4在区间[-2,1]上单调递增,f(x)=x-4在区间(1,2]上单调递增,且-2≤x≤1时,f(x)max=-3,1 12 {-2≤3??≤2,解得2≤m≤3,故选C. ??+1≤3??,答案C 4.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 . 解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图像.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图像应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图像的交点坐标为(4,6). 由图像可知,函数f(x)的最大值为6. 答案6 5.函数f(x)=2x-??的定义域为(0,1](a为实数). (1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围; (2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围. 解(1)?x1,x2∈(0,1],且x1 (2)由2x->5(x∈(0,1]),得a<2x-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x-5x=2(??-)?, ??48 ??2 2 ????)>0,即1??2 a<-2x1x2恒成立,∴a≤-2. 52 25 ∴函数y=2x2-5x在(0,1]上单调递减, ∴当x=1时,函数取得最小值-3,即a<-3. 故a的取值范围为(-∞,-3). 素养培优练 设f(x)=x-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解根据题意,a≤x-2ax+2在区间[-1,+∞)上恒成立,即a≤f(x)min. 下面研究f(x)=x-2ax+2=(x-a)+2-a在区间[-1,+∞)上的最小值. (1)当a<-1时,f(x)min=f(-1)=1+2a+2=3+2a; (2)当a≥-1时,f(x)min=f(a)=2-a. 3+2??,??<-1, 故f(x)min={ 2-??2,??≥-1. 2 2 2 2 2 2 由a≤f(x)min,得: 当a<-1时,有a≤3+2a, 即a≥-3,从而-3≤a<-1; 当a≥-1时,有a≤2-a, 即a+a-2≤0,(a-1)(a+2)≤0, 故-2≤a≤1,从而-1≤a≤1. 综上,a的取值范围为[-3,1]. 2 2
2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.1.2第2课时函数的最大(小)值课后提升训练含解析人教B版必修一
