指数函数和对数函数典例剖析
知识梳理 一、 指数函数： 对三个指数函数的图象特征与函数性质的认识。 （1）所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。 （2）与的图象关于y轴对称。 （3）通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 二、对数函数： 1、对三个对数函数的图象的认识： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是与在点（1,0）曲线是交叉的，即当时，的图象在的图象上方；而时，的图象在的图象的下方，故有：；。 （2）的图象与的图象关于x 轴对称。 （3）通过，，三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作的图象，它一定位于和 两个图象的中间，且过点（1,0），时，在的上方，而位于的下方，时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。 2、对数常用公式：； ； ； ； ； 。
典例剖析
题型一 函数的单调性判断
例1、讨论函数的单调性 （1）； （2） 。
剖析：（1）易知函数定义域为。令，，则原函数y=f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而在时是减函数，，在时是减函数，在时是增函数。
又，即 ，则；，得。由下表讨论复合函数的单调性： 单调性 函数 ↘ ↘ ↗ ↘ ↘ ↗ 可见，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 点评：复合函数的单调性的讨论用列表法求解，十分方便且非常有效。
（2）剖析：设，则。由，知 当时，u为减函数；当时,u为增函数，而为减函数，故在时为增函数，在时为减函数。
评注；复合函数单调性的判断一般遵循“同增异减”原则，这是一种简洁有效的方法。 题型二 函数值域求法
一、 配方法 配方法是求二次函数值域的基本方法，形如的函数值域问题，均可使用配方法。 例2、已知，求函数值域。 剖析：由， 得
。 又函数f(x)定义域[1,3]， 所以函数定义域为，解得，所以。
由二次函数单调性得，，所求函数值域为。
点评：配方法是求函数值域的最基本最常用的方法。
二、 利用函数有界性 形如，等，因为，可求y范围，从而求出其值域。 例3、求函数值域.
剖析 ：由, 得, , 或y<-1, 故原函数值域为。
点评；由于，也可类似求解。 三、利用函数单调性
例4、已知关于x的方程有负根。（1）求实数a的值的集合M；（2）若函数的定义域恰为M，求f(x)的值域。
剖析：(1) 当x<0 时，，即 ，得 ，即 ； (2)由题设， 得 ，即 ， 。
点评：函数单调性反映了函数值的变化趋势，所以利用函数单调性求值域直接了当，但要注意哪个区间上的单调性。
《指数函数与对数函数的关系》学案3(人教B版必修1)
