等差数列
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7……；
22?132?142?152?1（2），，，；
3524（3）?1111，，?，。 1*22*33*44*5(?1)n(n?1)2?1解析：（1）an=2n?1； （2）an= ； （3）an= 。
n(n?1)n?1点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，
这对考生的归纳推理能力有较高的要求。
n如（1）已知an?2 (n?N*)，则在数列{an}的最大项为__ ；n?156
an（2）数列{an}的通项为an?，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系
bn?1为___；
（3）已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围；
2、等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。
例2．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列 答案：B； 解法一：an=?
D.既非等比数列又非等差数列
?S1 (n?1)?1 (n?1)?an??
?2n?1 (n?2)?Sn?Sn?1 (n?2)∴an=2n－1（n∈N）
an?12n?1又an+1－an=2为常数，≠常数 ?an2n?1∴{an}是等差数列，但不是等比数列.
解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。
练一练：设{an}是等差数列，求证：以bn=
{bn}为等差数列。
a1?a2???an n?N*为通项公式的数列
n
3、等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。
n(a1?an)n(n?1)，Sn?na1?d。 22例3：等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是( )
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
4、等差数列的前n和：Sn?解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，
1
∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.
3
∴S13＝
13×(a1＋a13)13
＝13a7＝p.
23
答案：C
1
例4．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为( )
3
A．48 B．49 C．50 D．51
1212
解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得3333
n＝50.故选C.
答案：C
如(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? ；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；
例5：设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
解析：S9＝9a5＝－9，
∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72. 答案：－72
a11
例6：已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0
a10
的n的最大值为( )
A．11 B．19 C．20 D．21
a11
解析：∵<－1，且Sn有最大值，
a10
∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，
19(a1＋a19)
∴S19＝＝19·a10>0，
2
S20＝
20(a1＋a20)
＝10(a10＋a11)<0. 2
所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B. 答案：B
1315如（1）数列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，则a1222＝＿，n＝ ；
（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
5、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?a?b。 2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、
an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出
其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，
a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差为2d）
6.等差数列的性质：
高中数学必修5---等差数列
