高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式高效整合 新人教A版选修4-5

精品教案

第三讲 柯西不等式与排序不等式

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是( ) A．[－2C．[－5，210，

5] 10]

B．[－2D．[－10，25，5]

10]

解析： 由(a2＋b2)(1＋1)≥(a＋b)2， 所以a＋b∈[－2答案： A

222222．若x21＋x2＋…＋xn＝1，y1＋y2＋…＋yn＝1，则x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的最大值是

5，25]，故选A.

( )

A．2

B．1 3

C．3

3

D.

3

22222解析： 由(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn)2≤(x21＋x2＋…＋xn)(y1＋y2＋…＋yn)＝1，故选B.

答案： B

3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )

A．300元 C．320元

B．360元 D．340元

解析： 由排序原理知，反序和最小为320，故选C. 答案： C 4．已知a，b，c为非零实数，则(a2＋b2＋c2)

?111?

?2＋2＋2?的最小值为( ) ?abc?

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A．7 B．9 C．12 D．18

解析：

由(a2＋b2＋c2)

??111??a2＋b2＋c2??

≥??111??a·a＋b·b＋c·c?2?

＝(1＋1＋1)2＝9， ∴所求最小值为9，故选B. 答案： B

5．设a，b，c≥0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为( ) A．0

B．1 3

C．3

D.3

3

解析： 由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， 所以ab＋bc＋ca≤3.故应选C. 答案： C 6．表达式x1－y2＋y1－x2的最大值是( )

A．2 B．1 C.

2

D.32

解析： 因为x1－y2＋y1－x2≤ x2＋1－x2

1－y2＋y2

＝1，故选B.

答案： B

7．已知不等式(x＋y)??11?

?x＋y??

≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为( A．2

B．4

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)

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C.2 D．16

解析： 由(x＋y)??1?x＋1?

y??

≥(1＋1)2＝4，

因此不等式(x＋y)(x＋y)??11?

?x＋y??

≥a对任意正实数x，y恒成立，

即a≤4，故应选B. 答案： B

8．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是( A.

5 B.

3

C．23

D.32

解析： 1＝a＋b＋4c＝(a)2＋(b)2＋(2c)2

＝13[(a)2＋(b)2＋(2c)2]·(12＋12＋12)

≥(a＋b＋2c)2·

13

， ∴(

a＋b＋2c)2≤3，即所求为3.

答案： B

9．若a>b>c>d，x＝(a＋b)(c＋d)，y＝(a＋c)(b＋d)，

z＝(a＋d)(b＋c)，则x，y，z的大小顺序为( )

A．x

D．z

解析： 因a>d且b>c， 则(a＋b)(c＋d)<(a＋c)(b＋d)， 得xb且c>d， 则(a＋c)(b＋d)<(a＋d)(b＋c)， 得y

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)

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答案： C

10．若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A．a1b1＋a2b2 C．a1b2＋a2b1

B．a1a2＋b1b2 1

D. 2

解析： 利用特值法，令a1＝0.4，a2＝0.6，b1＝0.3，b2＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大．

答案： A

16

11．已知a，b，c，d均为实数，且a＋b＋c＋d＝4，a2＋b2＋c2＋d2＝，则a的

3最大值为( )

A．16 C．4

B．10 D．2

解析： 构造平面π：x＋y＋z＋(a－4)＝0， 球

O：x2＋y2＋z2＝

16

－a2， 3

则点(b，c，d)必为平面π与球O的公共点， |a－4|从而≤

3

16

－a2， 3

即a2－2a≤0，解得0≤a≤2， 故实数a的最大值是2. 答案： D

12．x，y，z是非负实数，9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值是( ) A．9 C．14

解析： u2＝(3x＋6y＋5z)2 ≤[(3x)2＋(2

3y)2＋(5z)2]·[12＋(

3)2＋(

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B．10 D．15

5)2]

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＝9×9＝81，∴u≤9. 答案： A

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 111

13．已知a，b，c都是正数，且4a＋9b＋c＝3，则＋＋的最小值是________．

abc4ac解析： 由4a＋9b＋c＝3，∴＋3b＋＝1，

33111

∴＋＋

abc4

＝

3

a＋3b＋ac4

33＋a＋3b＋bc4

33＋a＋3b＋

cc3 43bc4ac14a3b＝＋＋＋3＋＋＋＋＋ 3a3a3b3b33cc5?3b4a??c4a??c3b?＝3＋＋?＋?＋?＋?＋?＋?

3?a3b??3a3c??3bc?54

≥3＋＋4＋＋2＝12.

33答案： 12

14．已知a，b是给定的正数，则

＋的最小值是________．

sin2αcos2αa2b2

解析：

＋ sin2αcos2αa2b2

?a2b2?

?≥(a＋b)2. ＝(sin2α＋cos2α)?2＋2αsinαcos??

答案： (a＋b)2 15．已知点P是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y，z，

则x，y，z所满足的关系式为________，x2＋y2＋z2的最小值是________．

解析： 利用三角形面积相等，得

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