分式复习
知识点梳理
1. 分式的概念：
AAA、B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为B的形式，如果B中含有字母，那么我们把式子B（B
≠0）叫分式，其中A叫分子，B叫分母。
关于分式概念的两点说明：
i）分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。 ii）分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。 2. 分式的值为零
?分母的值不等于零?分式的值为零?分子的值等于零
3. 有理式的概念
??单项式整式??有理式??多项式??分式
4. 分式的基本性质
（1）分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。
AA?M?(M?0)即BB?M
（2）分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
AA?M?(M?0)BB?M即
注：
（1）分式的基本性质表达式中的M是不为零的整式。
（2）分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。
5. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 6. 约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分。
注：约分的理论依据是分式的基本性质。 约分后的结果不一定是分式。 约分的步骤：
（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。 （2）分子、分母都除以它们的公因式。
7. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式。 8. 分式的运算：
bdbd??ac （1）分式乘法：ac
1
bdbcbc????adad （2）分式除法：ac注：
i）分式的乘除法运算，归根到底是乘法运算。 ii）分式的乘法运算，可以先约分，再相乘。
iii）分式的分子或分母是多项式的先分解因式，再约分，再相乘。
bn?b????na（n为正整数） （3）乘方：?a?（4）通分：在不改变分式的值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母分式的变形叫通分。
注：分式通分的依据是分式的基本性质。
最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。
（5）分式的加减法：
naba?b??mmm 同分母：
abanbman?bm????mnmnmnmn 异分母：
（6）混合运算：做分式的混合运算时，先乘方，再乘除，最后再加减，有括号先算括号内的。
9. 分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。
注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。
10. 列分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。 （2）列整式方程，求得整式方程的根。
（3）验根：把求得的整式方程的根代入A，使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根。 （4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。
11. 增根的概念：在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。
注：增根不是解题错误造成的。
12. 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答。
例题分析
|x|?1 例1. 若分式x?1的值为零，求x的值。
解：
1
x2例2. 若分式3x?7的值为负，求x的取值范围。
x2x2x2?022分析：欲使3x?7的值为负，即使3x?7，就要使x与3x?7异号，而x?0，若x?0时，3x?7?x2?0?不能为负，因此，只有?3x?7?0才成立。
解：
xy 例3. 如果把分式x?y的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 不变
例4. 计算：
B. 扩大3倍
C. 缩小3倍
D. 缩小9倍
2x?6x2?x?6?(x?3)?212?4x （1）x?4x?4a?a2?a??a?1????????2a?1a?1a?1???? （2）
111?2?（3）x?1x?11?x
22a?a2?2aa?1?a?????22a?1??a?4a?3a?2 （4）
1
例5. 解方程。
236??2（1）1?x1?xx?1 2x?32x?4??1x?12x?3（2）
例6. 某人骑自行车比步行每小时快8公里，坐汽车比步行每小时快24公里，此人从甲地出发，先步行4公里，然后乘汽车10公里就到达乙地，他又骑自行车从乙地返回甲地，往返所用的时间相等，求此人步行的速度。
例7. 先化简再求值：
x2?xy?y2x2?xy2x?2???222(x?y)(x?y)?xyx?y，其中x?2y?3，x?y?2。
1
2mx3?2? 例8. 方程x?2x?4x?2会产生增根，m的值是多少？
分析：增根是使分式方程的最简公分母等于零的值，这里最简公分母(x?2)(x?2)若为零，则x=2或-2，解关于x的分式方程可求得含m的代数式表示的方程的解，利用方程思想问题得以解决。
小结：分式一章的学习是在之前学习了有理数运算，整式运算，分解因式以及方程，方程组和不等式，不等式组后进行的，在本章的研究过程中，同学们要充分运算已有的知识和思想方法，将代数的学习推向一个新的高度，在复习过程中，充分理解概念以及性质，熟练掌握各类运算，并会用分式的知识解决实际问题和具体数学问题。
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一. 填空题：
x?1 1. 分式x?4当x________时，分式有意义，当x________时，分式值为零。
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初一数学分式章节复习(含答案)解析
