6.3 平面向量的数量积
222 ②x1x2＋y1y2＝0 ③x21＋y1x2＋y2
1．数量积的概念 已知两个非零向量a与b，我们把数量
________________叫做a与b的数量积(或内积)，
记作____________，即a·b＝________，其中θ是a
与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上
(b在a方向上)的____________． a·b的几何意义：数量积a·b等于____________．
2．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律 ①交换律：___________________； ②数乘结合律：______________________； ③分配律：__________________________． (2)常用结论 ①(a±b)2＝________________________； ②(a＋b)·(a－b)＝_________________；
③a2＋b2＝0?______________________；
④||a|－|b||________|a|＋|b|.
3．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
①e·a＝____________.
②a⊥b?____________.
③当a与b同向时，a·b＝____________；
当a与b反向时，a·b＝____________.
特别地，a·a＝_________或|a|＝____________.
④cosθ＝____________.
⑤|a·b|≤____________.
4．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a·b＝_____________；a2＝___________；
|a|＝________________.
②a⊥b?____________________. ③|x1x2＋y1y2|≤________________________. 自查自纠
1.|a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ 投影 a的长
度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
2．(1)①a·b＝b·a ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(2)①a2±2a·b＋b2 ②a2－b2 ③a＝0且b＝0 ④ ≤ 3．①|a|cosθ ②a·b＝0 ③|a||b| －|a||b|
|a|2 a·a ④a·b
|a||b| ⑤|a||b| 4．①x1x2＋y1y2 x21＋y21 x21＋y2
1
1．(江西九江2024－2024学年高一下期末)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a在b方向上的投影为 ( ) A.－1 B.1 C.－12 D.12 解：因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0， 即a2＋a·b＝0，则a·b＝－1， 所以a在b方向上的投影为a·b|b|＝－1
2
.故选C. 2.(2024·全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝ ( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
解：由＝－＝(1，t－3)，||＝12＋（t－3）2＝1，得t＝3，则＝(1，0)，·＝2×1＋3×0＝2.故选C. 3．(陕西汉中2024届高三全真模拟改编)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列所有正确结论的编号是 ( ) ①e1在e2方向上的投影为cosθ； ②e21＝e22； ③?θ∈R，(e1＋e2)·(e1－e2)＝0； ④?θ∈R，e1·e2＝2. A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 解：由题意，e1在e2方向上的投影为|e1|cosθ＝cosθ，故①正确； e21＝|e1|2＝1，e22＝|e2|2
＝1，故②正确； (e1＋e2)·(e1－e2)＝e21－e2
2＝0恒成立，故③正确； e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝2，这与cosθ∈[－1 ， 1 ] 矛盾，故④错误．故选A. 4 ． (2017·
全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，
|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解：|a＋2b|＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝23.故填23.
5．(2024·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________． 解：因为c＝2a－5b，a·b＝0，所以a·c＝2a2
－5a·b＝2，|c|2＝4|a|2－45a·b＋5|b|2＝9，所以|c|＝3，所以cos〈a，c〉＝a·c222|a||c|＝1×3＝3.故填3.
类型一 数量积的定义及几何意义
例1 (1)若a，b，c均为非零向量，则下列说
法正确的是____________．(填写序号即可)
①a·b＝±|a|·|b|?a∥b； ②a⊥b?a·b＝0； ③a·c＝b·c?a＝b； ④(a·b)·c＝a·(b·c)．
解：a·b＝|a||b|cosθ，θ为a，b的夹角，则cos
θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a＝－b，
a⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，
等式右边为a的倍数．故填①②.
(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若
＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为 ( )
A.32 B.332 C.3 D.－2 解：由已知可以知道，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形．且∠A＝π2，又因为||＝||＝||，所以∠C＝π
3
，∠B
＝π6
，所以AB＝3，AC＝1，故在方向上的投影为
||cosπ6＝32
.故选A.
点拨 数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2［其
中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)］．其几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向
上的投影|b|cosθ的乘积．在理解数量积与投影概念
的基础上，利用二者的关系解题．
变式1 (1)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，
则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的
( ) A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解：因为m，n是非零向量，所以m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＜0的充要条件是cos〈m，n〉＜0.因为
λ＜0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉＜0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n＜0”；而由“m·n＜0”，可推得“cos〈m，n〉＜0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，故不能推得“存在负数λ，使得m＝λn”.综上，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．故选A.
(2)设单位向量e2π
1，e2的夹角为3
，a＝e1＋2e2，
b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为 ( )
A.－332 B.－3 C.3 D.332
解：依题意得e1×1×cos2π1
1·e2＝3＝－2
，|a|＝
（e1＋2e2）2＝e21＋4e22＋4e1·e2＝3，a·b＝(e1 ＋ 2 e 2)·(2 e 91 － 3 e 2) ＝ 2 e 21－6e22＋e1·e2＝－2，因此b在－9a方向上的投影为a·b|a|＝23
＝－332.故选A.
类型二 数量积的基本运算
例2 (1)(2024·四川高三春季诊断性测试)若向
量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝ ( ) A.0 B.4 C.－92 D.－172 解：由条件可得2k－1－4k＝0，k＝－1
2
，m＝
??－2，－12??，m·n＝－2×4－12＝－172
.故选D.
(2)(河南八市“领军考试”2024届高三第五次测评)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，向量a在向量b方向上的投影为1，则|a－2b|＝________． 解： 因为向量a在向量b方向上的投影为1，则a·b
|b|
＝1，所以a·b＝2，所以|a－2b|＝（a－2b）2＝a2－4a·b＋4b2＝4－4×2＋16＝23.故填
23. (3)已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为 ( ) A.3π4 B.ππ2π4 C.3 D.3 解：因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1， 所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝1
2.
又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝12
. 3π＝13，则a·b＝|a||b|cos120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|22因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C.
3
＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍(4)(内蒙古赤峰市2024－2024学年高一下期末)
在直角△ABC中，AB⊥AC，线段AC上有一点M，去)或|b|＝4.故选B. 线段BM上有一点P，且CM∶AM＝PB∶MP＝2∶π
(3)已知两个单位向量e，e的夹角为，若向121，若||＝||＝2，则·＝ ( ) 3
2142量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
A.1 B.－ C. D.
3332－2e·e－解：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e112
解：如图，以A为原点，AC，AB所在直线分别为x，y轴建系，依题设A(0，0)，B(0，2)，C(3，0)，M(1，0)，P(x，y)，由＝2得，(x，y－2)＝2(1
?x2－x，－y)，即???x＝2（1－x），
＝?3，?解得?y－2＝－2y，?
y＝2所以
3
，＝?2?3，23??，又＝(3，－2)，所以·＝22
3×3＋3×(－2)＝2
3
.故选D. (5)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，
若a·b＝1
2
，则(2a＋c)·(b－c)的最小值为________．
解：(2a＋c)·(b－c)＝2a·b－2a·c＋b·c－c2＝c·(b－2a)＝|c||b－2a|cos〈c，b－2a〉，
因为|b－2a|＝
b2－4a·b＋4a2＝3，
所以(2a＋c)·(b－c)＝3cos〈c，b－2a〉≥－3，当且仅当c与(b－2a)反向时，取等号．故填－3. 点拨 平面向量数量积的四种运算方法：①定义法，要注意两个向量的夹角；②坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算；③利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量；④运用平方的技巧．
变式2 (1)(江西名校2024届高三5月内部特供卷一)已知两个单位向量a，b的夹角为30°，c＝ma＋(1－m)b，b·c＝0，则m＝________．
解：b·c＝ma·b＋(1－m)b2＝m|a||b|cos30°＋(1－m)|b|2＝32
m＋1－m＝0，所以m＝4＋23.故填4＋
23.
(2)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|等于 ( )
A.5 B.4 C.3 D.1 解：向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|
8e22
＝3－2×1×1×cosπ
3
－8＝－6.故填－6. (4)(天津滨海新区2024届高三质量监测)如图，在梯形ABCD中，
AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，·＝3
2
，＝
λ(λ∈(0，1))，且·＝－3，则λ的值为________． 解：依题意，·＝(＋)·(－)＝·(λ－)＝λ2＋?1?2λ－1??·－122＝－3，即9λ＋32?1?2
λ－1??－8＝－3，解得λ＝23.故填23.
(5)［湖南师范大学附中2024届高三下模拟(三)］已知向量a，b满足|a|＝2，且a＋4b＝λa(λ＞0)，则当λ变化时，a·b的取值范围是 ( )
A.(－∞，0) B.(－∞，－1) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
解：由已知，(λ－1)a＝4b，则(λ－1)a2＝4a·b，因为|a|＝2，λ＞0，则a·b＝λ－1＞－1.故选D.
类型三 用数量积表示两个平面向量
的垂直关系
例3 (1)(2024·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝ (－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________.
解：因为a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m，0)－(－1，m)＝(m＋1，－m)，由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，所以a·(ma－b)＝m＋1＝0，即m＝－1.故填－1.
(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则 ( )
A.a⊥b B.|a|＝|b| C.a∥b D.| a|＞|b|
解：因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得4a·b＝0，所以a⊥b.故选A.
点拨 两个非零向量垂直的充要条件是两向
2024届高考数学核按钮【新高考广东版】6.3 平面向量的数量积
