∴S＝∴S＝1+
∴S＝1+1﹣+1+﹣+…+1+∴S＝n+1﹣
＝
．
，
， ，
六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
【解答】（1）解：∵∠BPA＝90°，PA＝PB， ∴∠PAB＝45°， ∵∠BAO＝45°， ∴∠PAO＝90°，
∴四边形OAPB是正方形， ∴P点的坐标为：（
（2）证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点， ∵∠BPE+∠EPA＝90°，∠EPB+∠FPB＝90°， ∴∠FPB＝∠EPA，
∵∠PFB＝∠PEA，BP＝AP， ∴△PBF≌△PAE，
a，
a）．
∴PE＝PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
（3）解：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE＝h，设∠APE＝α． 在直角△APE中，∠AEP＝90°，PA＝∴PE＝PA?cosα＝
?cosα，
，
又∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O）， ∴0°≤α＜45°， ∴＜h≤
．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数象过点E与直线l1相交于点F． （1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；
（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
（k＞0）的图
【解答】解：（1）根据题意知，P（1，2）．若点E与点P重合，则k＝xy＝1×2＝2；
（2）①当0＜k＜2时，如图1所示．
根据题意知，四边形OAPB是矩形，且BP＝1，AP＝2． ∵点E、F都在反比例函数
（k＞0）的图象上，
∴E（，2），F（1，k）．则BE＝，PE＝1﹣，AF＝k，PF＝2﹣k， ∴S△OEF＝S矩形OAPB﹣S△OBE﹣S△PEF﹣S△OAF
＝1×2﹣××2﹣×（1﹣）×（2﹣k）﹣×1×k ＝﹣k2+1；
②当k＝2时，由（1）知，△OEF不存在；
③当k＞2时，如图2所示．点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形． ∵PF⊥PE，
∴S△FPE＝PE?PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1， ∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PFE＝S△GEF，
∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△GEF﹣S△OCE ＝?k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1；
（3）当k＞0时，存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍．理由如下：
①如图1所示，当0＜k＜2时，S△PEF＝×（1﹣）×（2﹣k）＝S△OEF＝﹣k2+1， 则
×2＝﹣k2+1，
，
解得，k＝2（舍去），或k＝；
②由（1）知，k＝2时，△OEF与△PEF不存在；
③如图2所示，当k＞2时，S△PEF＝﹣k2+k﹣1，S△OEF＝k2﹣1， 则2（﹣k2+k﹣1）＝k2﹣1，
解得k＝（不合题意，舍去），或k＝2（不合题意，舍去）， 则E点坐标为：（3，2）．
2019年江西省赣州市会昌县初中数学竞赛试卷解析版
