WORD文档 可编辑
三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：
1?ex?xex1．求极限lim.
x?0xsinxxxx1?ex?xex(1?ex?xex)??e?e?xe1. 解：lim ?lim??limx?0x?0x?02x2xsinx(x2)???arccosx,x?02. 已知f(x)??在x = 0处可导，求常数a,b.
x?0??ax?b,解：因为f(x)在x = 0处可导必连续，所以limf(x)?limf(x)?f(0) ??x?0x?0 得 b??2
x?0又因为f(x)在x = 0处可导，所以limf(x)?f(0)存在 xarccosx??12?lim?lim??1＋2x?0＋x?0x1?x
?(ax?b)?2?a, ? a??1?f?(0).lim－x?0x3.设方程x?y?e解：
x?yy'x2?y2?e22arctanyx确定y是x的函数,求y'与y\.
arctanyx?1y'x?y ?y2x21?()xarctanyx化简得(x?yy')x2?y2?ex?y ?y'?x?y(y'x?y)
又y\?(1?y')(x?y)?(x?y)(1?y')2(xy'?y)?(x?y)2(x?y)22(x2?y2)将y'代入上式化简得 y\?(x?y)2
f(t)??x?e试求A(t)使dy?A(t)dx. 4. 设f(t)可微且f?(t)?0若?2??y?cosf(t)解：
dy?sinf2(t)2f(t)f'(t)?2f(t)sinf2(t) A(t)?＝?dxef(t)f'(t)ef(t)?2f(t)sinf2(t)dx ?dy?ef(t) 技术资料 专业分享
WORD文档 可编辑
x?lnxdx. 2xx?lnxlnx解： ?dx?lnx??x2dx x21＝lnx??lnxd
xlnx1 ＝lnx???2dx
xxlnx1 ＝lnx??＋C
xx5. 求?6. 设F(x)??e?tdt,试求：(1)F(x)的极值;(2)曲线y?F(x)的拐点的横坐标
02x2解： (1)F'(x)?[?e?tdt]'?e?x?2x令0?x?004x224 F\x)?2(1?4x4)e?x,F\?2?0 ?x?0是F(x)的极小值点,F(x)的极小值为F(0)?0.
(2)又F\x)?2(1?4x4)e?x令0?x1?1212时, 时, F\x)?0,F\x)?0,F\x)?0,412,x2??12 当-??x?? 当- 当1212?x?
?x???时, ?曲线y?F(x)拐点的横坐标为x??x2?sinxdx. 7．计算??11?x2112.21x?1?1x2?sinxdx??dx 解：??11?x2?11?x21??(1??111)dx 1?x21?2?2arctanx0?2??2
四、应用题（每小题8分，共16分）：
1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆截面的面积为5m2. 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
解：设截面的周长为 l , 已知l?x?2y??x2 1分
技术资料 专业分享
WORD文档 可编辑
截面的面积为xy? 故 l?x??x5?x 3分 ()2?5,即 y??22x840?x104?x,x?(0,?) 4分
40 6分 4??因为l'?1?
?4?1020， 令l'?0得驻点x?,l\?22xx又因为l\?0，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分 所以截面积的底宽为x?8分
2. 求抛物线y?4x?x2?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .
解：
40才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省. 4??y'x?0?(4?2x)x?0?4,y'x?3??2 2分
所以抛物线y?4x?x2?3在点(0,?3)和(3,0)处的切线方程分别为
y?4x?3,y??2x?6 2分
3且这两条切线的交点为(,3)，则所求图形的面积为
2S??(4x?3?4x?x?3)dx??3(?2x?6?4x?x2?3)dx?2320239 8分 4五、证明题（5分）：
证明：当x > 1时，
ln(1?x)x. ?lnx1?x证明 令f(t)?tlnt， 1分
f(t)在区间[x,1?x]上满足拉格朗日中值定理，于是在(x,1?x)中存在至少一点?，使得
f?(?)?ln??1?(x?1)ln(x?1)?xlnx
x?1?x即 (x?1)ln(x?1)?xlnx?ln??1 2分 而1?x???1?x，又因为ln??1?0，所以(x?1)ln(x?1)?xlnx， 即
ln(1?x)x?.（ x > 1） 2分 lnx1?x 技术资料 专业分享
WORD文档 可编辑
或令y?(1?x)ln(1?x)?xlnx，则y'?ln(1?x)?lnx?ln三．计算题（每小题7分，共42分）
1?x?0(x?1) x2?1?x1???. 2．求极限lim?1?ln(1?x)?x. １. 求极限 lim?xx?0e?1x?0x??3. 设方程e?y?cosx确定y为x的函数，求4. 设函数f(x)在???,???内可导，并且
xy2dy. dxdlnxf(t)dt?x，求f?(x)。 ?1dxx?xdx.
?22?x225. 求不定积分
?arccosxdx . 6. 求定积分?x(1?x)?ex?1x(1?x)?ex?1?1?x1????lim?lim三．１. lim?x x2x?0e?1x?0x?0xx(e?1)x??1?2x?ex2?ex1?lim? ?limx?0x?02x222．lim1?ln(1?x)?x?0?2x?lim?1?ln(1?x)?x?012ln(1?x)?ln(1?x)x?e2.
3. 解：方程两边同时对x求导得
exy(y?xy?)?2yy???sinx
dyyexy?sinx?y???故. dxxexy?2y4. 解：因
dlnx112xf(x)?e，故，即。因此 f(t)dt?f(lnx)?f(lnx)??x?1dxxxf?(x)?2e2x
5. 解：?arccosxdx?xarccosx??2x1?x2dx?xarccosx?1?x2?C
222x?xxxx2?ln6. dx?dx?dx?0?2dx?ln(2?x2)|06. 解：?2222????22?x?22?x?22?x02?x2.求由曲线y?x，y?
21
，y?2所围平面图形的面积S；并求该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转x
体的体积V. (8分) 解：所求平面图形的面积
技术资料 专业分享
WORD文档 可编辑
S??旋转体的体积
10ydy??2112322dy?y2|1?lny|??ln2 01y331112??1V???(y)dy???()2dy??y2|1?|1? 001y2y2122(cosx)sinx?11.计算求lim 3x?0x2.求
?10x1?x2arcsinxdx.
三、解答下列各题 (每小题6分, 共 18分)
?1 x?0?1/x1、设f(x)??1?e，研究f(x)在点x?0处的左、右连续性.
??0 x?02、设y?y(x)由方程xy?e2x?y所确定，求y.
34'3、设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)，求f'(1)及f'(3). 四、解答下列各题 (每小题7分, 共28分) 1、确定y?e(x-2)的单调区间.
2x2lim(1?3x)2、求极限 x?02sinx.
3、计算
??ex?1dx.
4、计算sin?lnx?dx.
五、解答下列各题 ( 7+10分, 共 17 分)
x2?2x?lnx在[?4,?1]上的最大值与最小值. 1. 求f(x)?2七、解答题 (本题 6分)
2已知f?x?的一个原函数为lnx，则试求：xf'?x?dx.
?六、证明题 (本题 7分)
试用你所学过的高等数学知识证明：当0?x??2时，tanx?x?13x. 3f(x)dx?f(0)，证明：在?0,1?内至少
五.证明题.设函数f(x)在?0,1?上连续，在?0,1?内可导，且2存在一点c，使得f?(c)?0。 求微分方程y?y?e的通解
技术资料 专业分享
''2x?112
高等数学上期末复习题
