第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、知识梳理
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1．命题
在数学中，可以判断真假，用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 p?q且q?/ p p?/ q且q?p p?q p?/ q且q?/ p [注意] 不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．
常用结论
1．充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件． 2．一些常见词语及其否定
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词语 否定 二、教材衍化 是 不是 都是 不都是 都不是 至少一个是 等于 不等于 大于 不大于 1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( ) A．“若x B．“若x>y，则x2>y2” D．“若x≥y，则x2≥y2” 详细分析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C. 2．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 详细分析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．( ) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( ) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (5)q不是p的必要条件时，“p?/ q”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 3 二、易错纠偏 常见误区 (1)不明确命题的条件与结论； (2)对充分必要条件判断错误； (3)含有大前提的命题的否命题易出错． π 1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ) 3A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题 详细分析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数π 列，则△ABC有一内角为”，它是真命题． 3 2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)． 详细分析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________． 答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0. 4 四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研) (2020·陕西西安模拟)命题“若x2<1， 则－1 A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1 【答案】 D 5
2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第1章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
