教案教学设计中职数学拓展模块2.2.1双曲线的标准方程

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授课时间： 年 月 日 课题 2.2.1双曲线的标准方程 课型 新授 第几 课时 1～2 课 时 教 学 目 标 （三维） 了解双曲线的定义，知道焦点在x轴与焦点在y轴的两种双曲线的标准方程； 通过双曲线的标准方程的推导，学生的数学思维能力得到提高； 教学重点与 难点 教学重点： 双曲线两种形式的标准方程 教学难点： 双曲线标准方程的推导 教学 方法 运用多媒体手段，数形结合，启发式教学 与 手段 使 用 教 材 的 构 想 双曲线的标准方程的推导过程，可以与椭圆的标准方程的推导过程类比进行。例1是求双曲线的标准方程的训练题．例2是已知双曲线的标准方程，求焦距和焦点坐标的训练题．求焦距需要使用关系式c2?a2?b2(b?0)；求焦点坐标需要确定焦点的位置．经过例1和例2的训练，从两个不同的角度强化学生对两类双曲线的标准方程特征的认识及关系式c2?a2?b2(b?0)的掌握． 太原市教研科研中心研制

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☆补充设计☆ 教 学 过 程 *揭示课题 2．2 双曲线． *创设情境 兴趣导入 我们先来做一个实验． 取一条两边长度不等的拉链（如图2－8），将拉链的两边分别固定在两个定点F1、F2（拉链两边的长度之差小于F1、F2的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固定在F2、F1处，用同样的方法可以画出图形的另一部分． 了解 观看 课件 思考 学生行为 设计意图 引导 启发学生得出结果 M 图2－8 从实验中发现：笔尖（即点M）在移动过程中，与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的长度之差）． *动脑思考 探索新知 我们将平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数（小于F1F2）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤来研究双曲线的方程． 太原市教研科研中心研制

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教 学 过 程 思考 图2－9 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系，如图2－9，设双曲线的焦距为2c， 则两个焦点F1、F2的坐标分别为（－c，0），（c，0）． 设M(x，y)为双曲线上的任意一点，M与两个焦点F1、F2的 距离之差的绝对值为2a，则 MF1?MF2?2a， 即 MF1?MF2??2a． 于是有 (x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2a． 将上式化简（类似于求椭圆的方程），得 (c2?a2)x2?a2y2?a2(c2?a2)． 22由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，因此c?a?0．令 理解 c2?a2?b2(b?0)，则上式变为 b2x2?a2y2?a2b2 学生行为 设计意图 引导学生发现解决问题方法 记忆 两边同时除以ab，得 x2y2??1　　　(a＞0，b＞0) （2.3） a2b222方程（2.3）叫做焦点在x轴上的双曲线的标准方程．它所表示0)F2(c，，0)并且b2?c2?a2． 的双曲线的焦点是F1(?c，，太原市教研科研中心研制

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教 学 过 程 学生行为 设计意图 图2－10 如图2－10所示，如果取过焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程 y2x2??1　　　(a＞0，b＞0) （2.4） a2b2方程（2.4）叫做焦点在y轴上的双曲线的标准方程．焦点为F1(0，?c)，F2(0，c)．字母a，b意义同上，并且b2?c2?a2． 【想一想】 已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？ *巩固知识 典型例题 例1 已知双曲线的焦点在x轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，请写出双曲线的标准方程． 解 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以 b2?c2?a2?33．由于双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程为 【想一想】 将条件“双曲线的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能求出双曲线的标准方程吗？ xy ??1．163322 观察 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 太原市教研科研中心研制

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教 学 过 程 例2 求下列双曲线的焦点坐标和焦距： x2y222（1）??1； （2）y?x?4． 14425学生行为 设计意图 分析 解题关键是判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上．方法是观察标准方程中含x项与含y项的符号，如果含x项（或含y项）的系数为正数，那么焦点在x轴（或y轴）上，并且该项的分母为a． 解 （1）因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a?144,b?25．故 222c2?a2?b2?144?25?169． 因此 c?13,2c?26． 所以，双曲线的焦点为F1(?13,0),F2(13,0)，焦距为26． （2）将方程化成标准方程为 x2y2??1． 44因为含y项的系数为正数，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a?4，b?4．故 22c2?a2?b2?8． 2c?42．因此 c?22， ?22)，F2(0，22)，所以，双曲线的焦点为F1(0，焦距为42． *运用知识 强化练习 1．设动点M到两个定点F1(?13,0),F2(13,0)的距离之差等于4，求动点M轨迹的方程． 2．求下列双曲线的焦点坐标和焦距： x2y2y2x2（1）??1； （2）??1． 79254 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 分别写出焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线的标准方程． 回答 理解 师生共同归纳太原市教研科研中心研制

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