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高考必考题突破讲座(一)
导数及其应用
[解密考纲]导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．
1．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，若函数F(x)的零点有且只有一个，求实数a的值． 解析 (1)∵f′(x)＝ln x＋1，
11
∴当0
ee11
0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增． ∴f(x)在??e??e?
111
t，?上单调递减，在?，t＋2?上单调递增， ①当0 ∴f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f?＝－； ?e?e1 ②当t≥时，函数f(x)在区间[t，t＋2]上单调递增， e∴f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tln t. 综上，f(x)min ?＝?1 tln t，t≥.?e 11－，0 (2)F(x)＝f(x)－g(x)＝xln x＋x2－ax＋2， 2 由题意F(x)＝0，即a＝ln x＋x＋在(0，＋∞)上有且只有一个根， x2 令h(x)＝ln x＋x＋， x 12x2＋x－2?x＋2??x－1? 则h′(x)＝＋1－2＝＝(x>0)， xxx2x2∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)min＝h(1)＝3， 由题意可知，若使y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，则a＝h(x)min＝3. 综上，若函数F(x)的零点有且只有一个，则实数a＝3. 1word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2．已知函数f(x)＝x·eax＋ln x－e，(a∈R)． (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 1 (2)设g(x)＝ln x＋－e，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在定义域内存在两个零点，求实数a的 x取值范围． 解析 (1)∵a＝1， 1 ∴f(x)＝xex＋ln x－e，f′(x)＝(x＋1)ex＋， x∴f(1)＝0，f′(1)＝2e＋1． ∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝(2e＋1)(x－1)． 1x2eax－1 (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝xe－＝在定义域(0，＋∞)上存在两个零点，即x2eax－1 xx ax ＝0在(0，＋∞)上有两个实数根． 令φ(x)＝x2eax－1，则φ′(x)＝ax2eax＋2xeax＝xeax(ax＋2)， ①当a≥0时，φ′(x)＝xeax(ax＋2)>0，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)至多一个零点，不合题意． 2 ②当a<0时，令φ′(x)＝0，得x＝－. a x φ′(x) φ(x) ＋ 单调递增 2－ a0 极大值 － 单调递减 ∵φ(0)＝－1，当x→＋∞，φ(x)→－1， ∴要使φ(x)＝x2eax－1在(0，＋∞)上有两个零点， 242 －?>0即可，得a2<2，又a<0，∴－ (2)若过点M(1，m)的直线与曲线y＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m的取值范围． 解析 (1)由题意得，f′(x)＝2ax2＋b. ∵函数f(x)＝ax3＋bx在x＝2? ＝－2，?f??2? ∴? ?2?＝0，f′??2?2 处取得极小值－2， 2 2 处取得极小值－2. 2 a＋2b＝－4，????a＝2，即?3解得? ?b＝－3，a＋b＝0，???2 2word版本可编辑.欢迎下载支持.
2019高考必考题突破讲座1
