向量的数量积和坐标运算
a,b 是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 | a | | b | cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），
记作 a b ，即 a b | a | | b | cos . 其几何意义是 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘
积 . 其坐标运算是：
若 a ( x1 , y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) ，则 ① a b x1 x2 ② | a |
y1 y2
z1 z2 ；
x1 2 y1 2 z1 2 , | b |
y1 y2
x2 2 y2 2 z2 2 ；
③ a b x1 x2 ④ cos a,b
z1 z2 x1 x2
y1 y2 z1 z2 z12
x12 y12 x2 2 y2 2 z2 2
1.2. 异面直线 m, n 所成的角
分别在直线 m, n 上取定向量 a, b , 则异面直线 m, n 所成的角 （如图 1 所示），则 cos
等于向量 a, b 所成的角或其补角
| a b | | a | | b |
.
A
C
n
a
1.3. 异面直线 m、n 的距离
n
m
D 图1 b B
分别在直线 m、n 上取定向量 a, b, 求与向量 a、 b 都垂直的
向量 n ，分别在
上各取一个定点 A、B ，则异面直线
m、n
、 的距离 d 等于 AB 在 n 上的射影 m n
长，即 d
| AB n | .
| n |
1.4. 直线 L 与平面 所成的角
n
在 L 上取定 AB ，求平面
的法向量 （如图 2
所示），再求 cos
| AB n | ，则
| AB | | n |
2
为所求的角 .
1.5 ． 二面角
n1
n2
方法一：构造二面角
l
的两个半平面
、 的法向量
l
n1 、n2 （都取向上的方向，如图 3 所示），则
图 3甲
①
若二面角
l
是“钝角型”的如图 3 甲所示， 那么其
n1 n2
大小等于两法向量 n1 、n2 的夹角的补角，即 cos
.（例如 2004 年高考数
| n1 | | n2 |
学广东卷第 18 题第（ 1 ）问） .
② 若二面角
l
是“锐角型”的如图 3 乙所示，那么其大小
n2
n1
等于两法向量 n1 、n2 的夹角，即 cos
n1 n2
.
| n1 | | n2 |
图 3乙
l
③ 方法二：在二面角的棱 l 上确定两个点 A、B ，过 A、 B 分别在平面 、 内求出与 l 垂直的
向量 n1 、n2 （如图 4 所示），则二面角
l的大小等于向量
n1 、n2 的夹角，即 cos
n1 n2
n2
| n1 | | n2 |
.
1.6. 平面外一点 p 到平面
的距离
B l A
n1
图4
先求出平面 的法向量 n ，在平面内任取一定点 A ，则点 p 到平面
p
n
的距离 d 等于 AP 在 n 上的射影长，即 d
| AP n | .
| n |
A
图5
练习
1 ．在长方体 ABCD
A1B1C1D1 中， B1C 和 C1 D 与底面所成的角分别为 60°和 45°，则异面直线 B1C
和 C1D 所成角的余弦值为
．
2. 如图，正四棱柱 ABCD A1 B1C1D1 中，AA1 2AB ，则异面直线 A1B 与 AD1
D1 A1
C1
所成角的余弦值为（ A ．
） C ．
1
B．
2
3
D ．
4
5
5
5
5
D
A
C
B
3 ．，在四面体 S-ABC 中， E 、F 、G、H 、 M 、N 分别是棱 SB
SA、 BC 、AB 、SC 、AC 、
的中点，且 EF=GH=MN, 求证： SA BC, SB AC ,SC AB .
4 ．如图 2，正三棱柱 ABC 角．
A1B1C1 的底面边长为 a ，侧棱长为 2a ，求 AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的
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