高三数学一轮复习教案
10.7 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
『梳理自测』
一、二项式定理及特点
1．(教材改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( ) A．9 B．8 C．7 D．6
2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( ) A．80 B．40 C．20 D．10
1
x3－2?5的展开式中的常数项为( ) 3．(教材改编)二项式?x??A．10 B．－10 C．－14 D．14 『答案』1.B 2.B 3.A
◆以上题目主要考查了以下内容： (1)二项式定理
n1n1b＋…＋Cranrbr＋…＋Cnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项(a＋b)n＝C0na＋Cnann
－
－
式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．
其中的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．
nrrnrr
式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb. nana
－
－
(2)二项展开式形式上的特点 ①项数为n＋1.
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
1
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n1n1④二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn.
－
二、二项式系数的性质
1
x－?n的展开式中第3项的二项式系数是15，1．若?则展开式中所有项系数之和为( ) ?2?11A. B. 326411C．－ D.
64128
1
3x－?n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为( ) 2．若?x??A．－5 B．5 C．－405 D．405 『答案』1.B 2.C
◆以上题目主要考查了以下内容：
nr
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn(r＝0,1，…，n)
－
(2)增减性与最大值：
n＋1二项式系数Ck当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐n，2n－1n＋1n减小的；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项C，C
22n2
n取得最大值．
0＋C1＋C2＋…＋Cr＋…＋Cn＝2n；C0＋C2＋C4＋…＝C1＋C3＋(3)各二项式系数和：Cnnnnnnnnnn
5＋…＝2n1. Cn
－
『指点迷津』
1．一个防范
nrr
运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具na
－
体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
2．一个定理
二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．
3．两种应用
(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．
(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．
2
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考向一 二项展开式中的特定项或系数
________.
2
x2－3?5展开式中的常数项为( ) (2)(2013·高考江西卷)?x??A．80 B．－80 C．40 D．－40
『审题视点』 根据二项展开式的通项公式，令x的次数为4，则为x4的项，含x的次数为0，则为常数项．
?x＋a?
84(1)(2013·高考安徽卷)若?3?的展开式中，x的系数为7，则实数a＝x??
?a?53334
『典例精讲』 (1)含x4的项为C38x?3?＝C8ax，
?x?
13
∴C38a＝7，∴a＝. 2
225－r·?－?r＝Cr·x10－2r·(－2)r·x－3r＝Cr·(－2)r·x10－(2)设展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5·(x)55
?x3?5r.若第
2(－2)2＝40. r＋1项为常数项，则10－5r＝0，得r＝2，即常数项T3＝C5
1
『答案』 (1) (2)C
2
『类题通法』 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．
1
1．(2014·浙江省温州市调研)(x－)6的展开式中的常数项是________．
2x
1116－r(－)r＝(－)rCrx3－『解析』二项式(x－)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(x)2x2x26
3r
， 2
15
∴当r＝2时，Tr＋1是常数项，此时T3＝.
415
『答案』
4
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高三数学一轮复习精品教案3：二项式定理(理)教学设计
