第2讲 三角恒等变换与解三角形(文理)
JIE TI CE LUE MING FANG XIANG
解题策略·明方向
⊙︱考情分析︱
1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．
2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： (1)边、角、面积的计算； (2)有关边、角的范围问题； (3)实际应用问题． ⊙︱真题分布︱ (理科) 年份 卷别 Ⅰ卷 2024 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 2024 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 2024 Ⅱ卷 Ⅲ卷 (文科) 年份 卷别 Ⅰ卷 题号 18 考查角度 余弦定理、三角恒等变换解三角形 余弦的二倍角公式的应用；诱导公式和平方关系2024 Ⅱ卷 13、17 的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状 Ⅲ卷 2024 Ⅰ卷 5、11 7、11 两角和与差的正余弦公式及其应用；余弦定理以及同角三角函数关系解三角形 诱导公式及两角和的正切公式；正、余弦定理 10 10 17 分值 10 题号 9、16 17 7、9 17 15 18 17 10、15 15 考查角度 三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形 解三角形求角和周长的最值 余弦定理解三角形；三角恒等变换求值 正余弦定理 二倍角公式、基本关系式、余弦定理、三角形面积公式 正余弦定理、三角形面积公式 正余弦定理、解三角形 二倍角、辅助角公式、基本关系式、和的正弦公式、余弦定理 余弦定理、二倍角公式、函数零点 分值 10 12 10 12 5 12 12 10 5 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 2024 Ⅱ卷 Ⅲ卷 11、15 18 11、16 7、15 7、11 二倍角公式的应用；正弦定理的应用 正余弦定理、三角形面积公式 三角函数定义及三角恒等变换；正余弦定理、解三角形 二倍角及余弦定理；诱导公式及三角恒等变换 二倍角公式、正、余弦定理解三角形 10 12 10 10 10
KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN
考点分类·析重点 考点一 三角恒等变换
知识再现
三角恒等变换与求值
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β
(3)tan(α±β)＝.
1?tan αtan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α
(3)tan 2α＝.
1－tan2α3．辅助角公式
b
asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中tan φ＝)
a
典例悟通
典例1 (1)(2024·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝( A )
3
A．
413
C．＋
22
1B． 433D．
4
π
0，?，且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝(2)(2024·宜宾模拟)已知α∈??2?( A )
A．1
23
B．－
17
23
C．－或1
17
D．－1
ππ1x－?＋sin2?x－?－. (3)已知函数f(x)＝3cos xcos??2??6?2①求f(x)的单调递增区间；
π3
0，?，f(x)＝，求cos 2x的值． ②若x∈??4?6【解析】 (1)原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10° 11
＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝＋cos 80°＋sin 70°sin 10°
2211
＝＋(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°) 22
11113＝＋(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°)＝＋cos 60°＝.故选A． 22224(2)由3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0， 3sin2α－5cos2α＋2sin αcos α得＝0
sin2α＋cos2α3tan2α＋2tan α－5
＝0， 2
tanα＋1即3tan2α＋2tan α－5＝0， 5
解得tan α＝1或tan α＝－.
3ππ0，?，∴tan α＝1，即α＝. ∵α∈??2?4
ππ
∴sin 2α＋cos 2α＝sin ＋cos ＝1．故选A．
22ππ1x－?＋sin2?x－?－ (3)f(x)＝3cos xcos??2??6?2π
2x－?1－cos?3?1?
＝3sin xcos x＋－ 22＝＝＝
π31
2x－? sin 2x－cos?3?22?3113
sin 2x－?cos 2x＋sin 2x? 22?22?π311
2x－?. sin 2x－cos 2x＝sin?6?442?
πππ
①令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
262
2024届高考数学二轮复习第二部分第2讲三角恒等变换与解三角形文理学案含解析人教版.doc
