又∵BC＝4，∴AH＝3，AI＝3－x，∵正方形DEFG，∴GF∥BC，∴
GFAIx3－x12＝，＝，解得x＝，BCAH473
12∴正方形的边长是.7
15．[2018·包头]如图13，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，
图13
且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连结DF.若S△AEF＝1，5则S△ADF的值为____．
2【解析】∵3AE＝2EB，∴
AE2＝，EB3
∵EF∥BC，易证得△AEF∽△ABC，∴
S△AEF4＝，S△ABC25
25，425∵AC是对角线，∴S△ADC＝，4
AFAE2又∵＝＝，FCEB3
22255∴S△ADF＝S△ADC＝×＝.5542又∵S△AEF＝1，∴S△ABC＝
16．[2017·东营]如图14，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连接CD，BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO，其中正确结论的序号是__①②③__．
图14
【解析】①∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠CAO＝45°，∴∠DOC＝45°，∴∠BOD＝∠DOC，∴OD平分∠COB.故①正确；
②∵∠BOD＝∠DOC，∴BD＝CD.故②正确；③∵∠AOC＝90°，∴∠CDA＝45°＝∠DOC，∵∠OCD＝∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴
DCOC＝，∴CD2＝CE·CO.故③正确．ECDC
三、解答题(共66分)
AD17．(6分)如图15，AD，BE是钝角三角形ABC的边BC，AC上的高，求证：
BE
AC＝.BC
图15
证明：∵在△ACD和△BCE中，∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ACD∽△BCE，∴
ADAC＝.BEBC
18．(8分)[2018·青海]如图16，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
图16
(1)求证：AD＝BF；
(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．解：(1)∵证明：点E是AB中点，∴AE＝BE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵点F在CB，DE延长线上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，
∠ADE＝∠BFE，
在△AED与△BEF中，∠AED＝∠BEF，
AE＝BE，
∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF；(2)∵EB∥CD，∴△FEB∽△FDC，∵△AED≌△BEF，∴ED＝EF，S△AED＝S△BEF，∵
S△BEF1EF1＝，∴＝，DF2S△DCF4
∴设S△BFE为x，则S四边形EBCD为3x，由4x＝32，得x＝8，∴S四边形EBCD＝3×8＝24.
19．(10分)如图17，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是__2__；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)设点P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是__(－2a，2b)__．
图17
解：(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是(2)如答图所示，△A2B2C2即为所求；
A1B14＝＝2；AB2
第19题答图
(3)点P的对应点P2的坐标为(－2a，2b)．
20．(10分)[2017·菏泽改编]如图18，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC.(1)求证：∠BAC＝∠CBP；(2)求证：PB2＝PC·PA；
(3)当AC＝6，CP＝3时，求PB的值．
图18
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBA＝90°，∴∠PBC＋∠CBA＝90°，∴∠BAC＝∠CBP；
(2)证明：∵∠P＝∠P，∠BAC＝∠CBP，∴△APB∽△BPC，∴∴PB2＝PC·PA；(3)∵AC＝6，CP＝3，
∴PB2＝PC·PA＝3×9＝27，即PB＝33.21．(10分)[2018·金华、丽水改编]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.如图19，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.
(1)若点G为DE的中点，求FG的长；(2)若DG＝GF，求BC的长；
APPB＝，PBPC
图19
解：(1)在正方形ACDE中，有DG＝GE＝6.
第21题答图
在Rt△AEG中，AG＝AE2＋EG2＝122＋62＝65.∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴
FGEG11＝＝，∴FG＝AG＝25；AFAC23
(2)如答图，连接DF，在正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°，又∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF.
∵AE∥BC，设∠EAF＝x，∴∠B＝∠EAF＝x.∵GF＝GD，∴∠BFD＝∠EDF＝x.
在△DBF中，∠BFD＋∠FDB＋∠B＝180°，
初三年级上册数学第27章质量评估试卷(含答案)
