7-7-4 容斥原理之数论问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“
”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“
”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆B，即阴影面积．
1．先包含——A?B 重叠部分A
B计算了2次，多加了1次；
A?B?AB包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把ABA、B的一切元素都“包含”进1来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类
的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，
C1．先包含：A?B?C 重叠部分AB、BC、C多加了1次． A重叠了2次，
2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC
ABC3在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
A?B?C?例题精讲
AB?BC?AC
A?B?C?AB?BC?AC?ABC
【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？
AB
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍
数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．
由100?3?331可知，1~100中3的倍数有33个；由100?5?20可知，1~100中5的倍数有20个；由100?（3?5）?610可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．
由包含排除法，3或5的倍数有：33?20?6?47(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有
100?47?53(个)．
【答案】53
【巩固】 在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 100?3?331，100?5?20，100?（3?5）?610．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的
数有33?20?6?47(个)．
【答案】47
【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整
除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．
前100个自然数中能被2整除的数有：100?2?50(个)．由100?3?331知，前100个自然数中能被
3整除的数有：33个．由100?（2?3）?16有16个．
4知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数
所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数．因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50?33?16?67(个)．
【答案】67
【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个? 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 1～1000之间，5的倍数有?1000?=200个，7的倍数有?1000?=142个，因为既是5的倍数，又是
???5???7??7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有?1000?=28个．
??35??所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．
【答案】686
【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数． 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 记 A：1～100中3的倍数，100?3?33B：1～100中7的倍数，100?7?141，有33个； 2，有14个；
16，有4个．
A个.
B：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，100?21?4依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有33?14?4?43个，则能被3或7整除的数的个数为43
【答案】43
【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍
数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.
【答案】48个，和24
【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和. 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的
数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.
【答案】240个，120个
【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个． 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】西城实验
?2008??2008??133【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有?个，3和7的倍数有??21??95个，5
?15????2008??2008?和7的倍数有?个，3、5和7的倍数有?57??105??19个．所以，恰好是3、5、7中两个数35????的倍数的共有133?19?95?19?57?19?228个．
【答案】228个
【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第12题
【解析】 被2整除的有50个，被3整除的有33个，被7整除的有14个
同时被2和3整除的有16个，同时被2和7整除的有7个，同时被3和7整除的有4个 同时被2和3和7整除的有2个，100??50?33?14?16?7?4?2??100?72?28个
【答案】28个。
【例 6】 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答
?a??7?【解析】 表示取商的整数部分．例如，?2??3．要注意的是，符号??与?、?、?、?符号一样，也是?b?????一种运算，叫取整运算．
本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的 数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7整除的数．
故能被2整除的有：1998?2?999(个)．
能被2和3同时整除的有：[1998?（2?3）]?333(个)． 能被2和7同时整除的有：[1998?（2?7）]?142． 能被2、3、7同时整除的有：[1998?（2?3?7）]?47(个)．
所以，能被2整除，但不能被3或7整除的数有999?333?142?47?571(个)．
【答案】571个
【例 7】 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报
数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名? 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第13题
【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：
第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．
1～50之间，4的倍数有?50?=12,6的倍数有?50?=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定
???4???6??是12的倍数，所以有?50?=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，
??12??所以现在共有34+4=38名同学面向老师．
【答案】38名
【例 8】 体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，
老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让 所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第15题，4分
【解析】 可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同时是4和5的倍数的有3个，
同时是5和6的倍数的有2个，同时是4和6的倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有60-28=32人。转过两次的有：3－1+2－1+5－1＝7。最后面向老师的学生数=32+7＝39个。
【答案】39个
【例 9】 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后
将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
A2EDGC5FB3【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数．1～
2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数有66个，亮着的灯一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盏．
【答案】1002盏
【巩固】 2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，……，2006。将编号为2的
倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为（ ）盏。 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，第11题，六年级，第11题
【解析】 因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．这道题实际上是求
1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数． 我们可以求得被2整除的数有2006?2?1003(盏)， 被3整除的数有2006?3?6682，共668(盏)，
被5整除的数有2006?5?4011，共401(盏)． 其中，同时被2、3整除的数有2006?(2?3)?3342，共334(盏)；
同时被3、5整除的有2006?(3?5)?13311，共133(盏)； 同时被2、5整除的数有2006?(2?5)?2006，共200(盏)；
小学奥数 容斥原理之数论问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
