因为
??????=??′(????????????)????????????,
??????=???′(????????????)????????????
所以
?????????????????????????????
=??????????′(????????????)????????????+??????????′(????????????)???????????? =??′(????????????)????
??????因此???????????????????????=(4??+????????????)????化为
??′(????????????)????=(4??+????????????)???? 从而函数??(??)满足方程
??′(??)=4??(??)+?? 一阶线性非齐次微分方程 可得方程通解为 ??(??)=??e4???由??(0)=0,解得 ??=16 故 ??(??)=16e4???
1??4
??4
?16 1
1?16 1
【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解
??(18)求幂级数∑∞??=0(??+1)(??+3)??的收敛域及和函数
【解析】
【方法1】
11?????因为几何级数∑∞??=0??=
,且收敛域为??∈(?1,1)
??又∑∞??=0(??+1)(??+3)??
∞∞=∑(??+1)(??+2)????+∑(??+1)???? ??=0∞′′
??=0∞=(∑????+2)
??=0′′
+(∑????+1)′
??=0′
??2=()
1?????′2?????21+()=[]+
(1???)2(1???)21???3???=， ??∈(?1,1) (1???)3??由幂级数的逐项求导性质知∑∞??=0(??+1)(??+3)??的收敛域为(?1,1)，和函数
??(??)=(1???)3 ,??∈(?1,1) 【方法2】
3?????幂级数∑∞??=0(??+1)(??+3)??的系数????=(??+1)(??+3), 又
????????→∞????+1????(??+2)(??+4)
=??????=1 ??→∞(??+1)(??+3)
所以收敛半径 ??=1
??∞当??=1时，∑∞??=0(??+1)(??+3)??=∑??=0(??+1)(??+3)发散；
????∞当??=?1时，∑∞??=0(??+1)(??+3)??=∑??=0(??+1)(??+3)(?1) 发散；
故收敛域为??∈(?1,1)
??设 ??(??)=∑∞??=0(??+1)(??+3)??，??∈(?1,1) 则
∞∞∞??0∞∫??(??)????=∑(??+3)????+1=∑(??+2)????+1+∑????+1 ??=0??′
??=0∞′??=0=[∑∫
??=00(??+2)????+1????]
??????+2+=(∑??)+ 1???1?????=02?????2??3???2??2=+= (1???)21???(1???)23???2??2[(1???)2]′
故和函数 ??(??)=
=(1???)3 ,??∈(?1,1)
3???【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和
(19)设函数??(??),g(??)在区间[??,??]上连续，且??(??)单调增加，0≤g(??)≤1。证明： (I)0≤∫??g(??)????≤?????,??∈[??,??];
??+∫g(??)??????????(II)∫????(??)????≤∫??(??)g(??)????. ????【解析】
(Ⅰ)由0≤g(??)≤1得
得0≤∫??g(??)????≤∫??1????≤?????,??∈[??,??]；
????(Ⅱ)令??(??)=
????+∫g(??)??????(??)???? ∫????(??)g(??)?????∫??????显然??(??)=0,只要证明??(??)单调增且??(??)≥0,
????′(??)=??(??)g(??)???(??+∫g(??)????)g(??)
???? =g(??)[??(??)???(??+∫??g(??)????)]
由(Ⅰ)的结论0≤∫??g(??)????≤?????知，??≤??+∫??g(??)????≤??即
??????≤??+∫g(??)????≤??
????又??(??)单调增加，则??(??)≥??(??+∫????(??)????),因此，??′(??)≥0,
????(??)≥0.
??+∫g(??)????????故 ∫????(??)????≤∫??(??)g(??)????. ????【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题 1
(20)设??=[0
1
?231 ?120
?4
1]，??为三阶单位矩阵 ?3
(I)求方程组????=??的一个基础解系；
(II)求满足????=??的所有矩阵??。
【解析】
(Ⅰ)对矩阵??做初等行变换，得
1??=[0
1?23?411 ?11]→[020?30?23
1 ?101?411]→[0?3000
1 0011?2] ?3
因?????(??)=4?3=1,令??4=1求出??3=3，??2=2，??1=?1 故基础解系为??=(?1,2,3,1)T （Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组
100
????=[0], ????=[1], ????=[0]
001
由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令??=(?????)做初等行变换
1??=(?????)=[01?231 ?1?4 1201|0?3001000] 11?23?4 100 →[01 ?11|010]
04?31?1011?23?4 100 →[01 ?11|010]
001?3?1?411?205 412?3 →[01 0?2|?1?31]
001?3?1?411001 261
→[01 0?2|?1?31]
001?3?1?41由此得三个方程组的通解：
(2,?1,?1,0)??+??1??
考研数学三真题及答案
