【解析】
二次积分的积分区域为
??={(??,??)|0≤??≤1,??≤??≤1}={(??,??)|0≤??≤1,0≤??≤??} 交换积分次序得
101??∫????∫(
????????2210
0
x
?????)????=∫????∫(
??????10
2?????)????
21
=∫(??0
??2?∫??0??21
????)????=∫??0
??2??0?????∫(∫????????)????
21
=∫??0
??2??1
?????(??∫??0??210
????)|+∫??????????
0
21
=∫??0
??21
?????∫??0
??21??21e?1
????+??|= 220【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系
(13)设二次型??(??1,??2,??3)=??12???22+2????1??3+4??2??3的负惯性指数为1，则??的取值范围是 。
【答案】[?2,2]
【解析】
由配方法
??(??1,??2,??3)
=??12+2????1??3+??2??32?(??22?4??2??3+4??32)+4??32???2??32
=(??1+????3)2?(??2?2??3)2+(4???2)??32 负惯性指数为1，故4???2≥0，解得??∈[?2,2] 【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形
设总体??的概率密度为
2????(??;??)={3??2,??
其中??是未知参数，??1,??2,?????为来自总体??的简单随机样本，若
??(??∑????=1??2??)=??2,则c= 。
【答案】
25??
【解析】
??(??∑??2??2????=1??2??)=c∑????=1????2??=????????2=????∫??3??2????=???? ??2,
解得c=25?? 【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
52??2=
(14)三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)求极限
??1(????????????→+∞[??∫12?1)???]????1??2?????(1+)
?? 【解析】
【方法1】
1??2??[??(???1)???]????∫1????????→+∞??2ln(1+)
1??=
=????????→+∞1??2??[??(???1)???]????∫11??2?
??1?? (等价无穷小代换)
=??????[??(???1)???] (洛必达法则)
2??→+∞ =
1?????1????????? (变量代换
??2????→0+
=??)
=
?????1?????? (洛必达法则) 2????→0+1 =2 【方法2】
1??2??[??(???1)???]????∫11??2ln(1+)??????????→+∞=
=????????→+∞1??2[??(?????1)???]????∫11??2?
??1?? (等价无穷小代换)
=??????[??(???1)???] (洛必达法则)
2??→+∞ =??????[??2(??+2!??2+??(??2))???] (泰勒公式)
??→+∞111 =2
【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开
(16)设平面内区域??={(??,??)|1≤??2+??2≤4,??≥0,??≥0},计算
1?
??????????(??√??2+??2)
??+?????????? 【解析】
【方法1】令??=??????????,??=??????????,
????????(??√??2+??2)
??+????2 ??? =∫0??2????????=∫0????????????????+????????2????∫???????? ???????? 12????????1
|2?????(????????? ????1????????+????????π
π
2
+∫1?????? ????????)
=?π∫0又I=
π2
3
???????????? ????????+??????????2????????∫0????????+??????????????????????+????????2=∫0???? 令??=
????????+????????sin???????) 2 =2∫01
????=4 ????????+????????π
所以???????????(??√??2+??2)
??+??????????=?
3???
π4
=?
4
3
【方法2】
显然积分区域D关于??,??有轮换对称性，于是
????????(??√??2+??2)
??+??????????(??√??2+??2)
??+?????1
????????=???????????
=2[???12
????????(??√??2+??2)
??+??????????+???????????(??√??2+??2)
????????] ??+??2+??2)???????? =?????????????(√??π
2????=∫???????? ???????? ∫0112
2=2∫0?????π(????????? ????|2?????? ????????) 1+∫1=????
3π4
1
π
2
12=?4
3
【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分
(17)设函数??(??)具有连续导数，且??=??(????????????)满足
?????????????????????????????=(4??+????????????)???? 若??(0)=0,求??(??)的表达式。
【解析】
利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。
考研数学三真题及答案
