2014年考研数学三真
题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的。）
(1)设??????????=??,且??≠0，则当??充分大时有
??→∞(A)|????|>
|??|
2
(B) |????|<
1|??|2
1(C) ????>????? (D) ????
【解析】
【方法1】直接法：
由??????????=??,且??≠0，则当??充分大时有
??→∞|????|>
|??|
2
【方法2】排除法：
2若取????=2+,显然??=2,且(B)和(D)都不正确；
??取????=2?,显然??=2，且(C)不正确
??2综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A)??=??+???????? (B)??=??2+???????? (C) ??=??+???????? (D) ??=??2+???????? 【答案】C。
11【解析】
【方法1】
由于????????→∞??(??)??=????????→∞??+????????1??=1=??
??????[??(??)?????]=??????[??+????????→∞??→∞11?????]=??????????????→∞1??=0=??
所以曲线??=??+????????有斜渐近线??=??，故应选(C) 解法2
1 考虑曲线??=??+????????与直线??=??纵坐标之差在??→∞时的极限 ??????[??+????????→∞1?????]=??????????????→∞11??=0
则直线??=??是曲线??=??+????????的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C)
【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线
(3)设??(??)=??+????+????2+????3.当??→0时，若??(??)?tan??是比??3 高阶的无
穷小，则下列选项中错误的是
(A)??=0 (B)??=1
1 (C)??=0 (D)??=6 【答案】D。
【解析】
【方法1】
13 当??→0时，??????????? ~ ??3知，????????的泰勒公式为 ????????=??+ ??3+??(??3)
31 又????????→0??(??)???????????3=????????→0??+(???1)??+????2+(???)??3+??(??3)
??313=0 则??=0,??=1,??=0,??=3 【方法2】
1 显然，??=0，
??(??)???????????33??2??+????+????2+????3???????????3 ????????→0=????????→0=
????????→0??+2????+3????2???????2?? 由上式可知，??=1,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。
????????→0??(??)???????????31=????????→02????+3????2???????2??3??2=????????→02??3??+???
13 故??=0,??=3 综上所述，本题正确答案是(D)。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较
(4)设函数??(??)具有二阶导数，g(??)=??(0)(1???)???(1)??,则在区间[0,1]上
(A)当??′(??)≥0时，??(??)≥g(??) (B)当??′(??)≥0时，??(??)≤g(??) (C)当??′′(??)≥0时，??(??)≥g(??) (D)当??′′(??)≥0时，??(??)≤g(??)
【答案】D。
【解析】
【方法1】
由于??(0)=g(0),??(1)=??(1),则直线??=??(0)(1???)???(1)??过点(0,f(0))和
(1,f(1)),当??′′(??)≥0时，曲线??=??(??)在区间[0,1]上是凹的，曲线??=??(??)应位于过两个端点(0,??(0))和(1,??(1))的弦??=??(0)(1???)???(1)??的下方，即
??(??)≤g(??) 【方法2】
令??(??)=??(??)?g(??)=??(??)???(0)(1???)???(1)??,则
??′(??)=??′(??)+??(0)???(1),??′′(??)=??′′(??),
当??′′(??)≥0时，??′′(??)≥0。则曲线??(??)在区间[0,1]上是凹的，又??(0)=
??(1)=0，
从而，当??∈[0,1]时，??(??)≤0,即??(??)≤g(??)
【方法3】
令??(??)=??(??)?g(??)=??(??)???(0)(1???)???(1)??,
则??(??)=??(??)[(1???)+??]???(0)(1???)???(1)??,
=(1???)[??(??)???(0)]???[??(1)???(??)]
=??(1???)??′(??)???(1???)??′(??) ??∈(0,??),?? =??(1???)[??′(??)???′(??)]
当??′′(??)≥0时,??′(??)单调增，??′(??)≤??′(??)，从而，当??(??)≤0,即??(??)≤g(??) 综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明
∈(??,1) ??∈[0,1]时，
考研数学三真题及答案
