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第四章 平面图形及其位置关系
一、基础知识梳理 （一）主要概念
1．线段、射线、直线
（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段． 线段的特点：是直的，它有两个端点．
（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线． 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸． （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点
把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：
（1）因为AM=BM=1AB，所以M是线段AB的中点．
2 （2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=1AB或AB=2AM=2BM．
23．角
由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边． 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．
一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当
它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．平行线
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”． 6．两条直线垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，?如直线AB?与直线CD垂直，记作AB⊥CD． 7．两点之间的距离
两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 8．点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （二）主要性质 1．直线的性质
经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”． 2．线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短． 3．与平行线有关的一些性质 （1）平行公理．
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理的推论．
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 4．垂线性质
（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 二、典型例题
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1．考查学生发现问题、解决问题的能力． 【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（ ）
A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，?如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；?如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）． 2．线段长度的计算，线段的中点
【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
3．角的度量与换算 【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（ ） A．70° B．75° C．85° D．90° 4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．
【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为22的正方形ABCD厚纸板，?按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于G，?交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（ ）．
（1） （2） A．8 B．6 C．4 D．5
三、解题方法与技巧 方法1：见比设元
【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．
【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法． 【解】∵AB：BC：CD=2：4：3 ∴设AB=2K BC=4K CD=3K ∴AD=3K+2K+4K=9K ∵CD=9
∴3K=9 ∴K=3
∴AB=6 BC=12 AD=27 ∵M为AD中点，
11 ∴MD= AD=×27=13.5
22 ∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5
【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数． 方法2：利用线段的和差判断三点共线
【例2】判断以下三点A、B、C是否共线．
（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm； （2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm．
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【解】（1）∵AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm， ∴AB=AC+CB
∴A、C、B三点在同一条直线上
（2）∵AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm， ∴AB≠AC+CB
∴A、C、B三点不共线 方法3：寻找规律
（一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n点一共可画 （二）数n个人两两握手能握
n(n?1)次． 2n(n?1)条直线． 2n(n?1)条线段． 2（四）数角的个数：以0为端点引n条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）?小于平角的角个数n(n?1)为．
2 （三）数线段条数：线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有
n(n?1)个交点． 2 （六）数对顶角对数：n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角．
n(n?1) （七）数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成1+个部分．
2 【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） A．1条 B．4条 C．6条 D．1条或4条或6条 【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．
【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n?表示切的刀数，饼被最多分成S部分．则：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．
【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知：
（五）数交点个数：n条直线最多有
n=1时 S=1+1 n=2时 S=1+1+2 n=3时 S=1+1+2+3 n=4时 S=1+1+2+3+4 ……
则S=1+1+2+3+4+…+n=1+ ∴当n=7时，S=1+
n(n?1) 2
7?8=29 2 答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼．
【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般
七年级数学上册平面图形及其位置关系学习知识汇总
