门 票 成人10元 学生6元 联 票 游览券 每张2元 10张16元 参观点 鹿场 张数 1 1 1 1 1 活动点 迷宫 骑马 缆车 高架车 过山车 张数 2 2 2 3 3
包括门票和5张游览券 水族馆 猴山 百鸟林 钓鱼池
成人18元，学生14元
待学生质疑并让同学作出解释后，我接着出示问题：星期天，老师带4位小学生去动物园游览，小敏想参观猴山、钓鱼池、坐高架车、玩迷宫，怎样购票比较好？先让学生独立思考，然后组织学生汇报。
生1：“我考虑小敏要买1张门票和7张游览券，所以，列式为6＋7×2=20元。” “我有不同意见！”这时许多同学都大声嚷起来。
生2：“我有比他更省钱的方案。”他顿了顿接着说：“我考虑买联票，1张门票和5张游览券是14元，再买2张游览券只要付4元，一共是18元。”“对！”同学们齐声欢呼。他得意地看了看大家，高兴地坐下了。
师：“对！如果买联票比门票和游览券单独买更省钱，所以我们在平时的生活中，遇到实际问题时，一定要多动脑筋，这样不但能节省钱，而且还能使我们变得更聪明。” 我正想出示第二个问题，可这时平素数学成绩并不理想的张蓓尔同学，依然高举着手，嘴里叫着：“老师，我还有一种设计方案！”其他同学都用奇怪的目光注视着她，我犹豫了片刻，觉得不应该打击她的积极性，还是让她来说说。
张蓓尔：“我的方案是买1张门票和10张游览券，列式为6＋16=22元。”这时许多同学纷纷嚷起来：“这太浪费了。”
生：“我认为这种方案不合适，因为小敏只要买7张游览券就够了，他买了10张，不是多浪费了3张游览券吗？”
面对同学的质问，我笑着对张蓓尔说：“别人都对你的方案有意见，你能说明你设计的方案的理由吗？”
这时的张蓓尔已经满面通红，她站起来激动地说：“我家在农村，很少有机会去动物园，如果我是小敏，我会多选择几个景点去玩，这样虽然多花了4元钱，但能多玩几个景点，我认为还是合算的。”
生：“我也同意张蓓尔的意见了。”这是刚才持反对意见最强烈的钱柯同学，“因为题目中说有5个人去玩，那小敏就可以把多买的3张券，再卖给其他同学，那不就只要16元
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钱了吗？”这时教室里响起了热烈的掌声……
小学生不同的家庭条件以及不同的生活方式，对他们的思维方式、思想观念有着极其深刻的影响。于是，在课堂上的答案也就变得丰富多彩，我们有责任来保护孩子们独创的幼芽，这就需要我们关注学生的真情实感，尊重学生的判断，重视学生的知识经验，对他们有更多的理解和宽容，要不断地赞赏学生独特的、富有个性的理解，珍惜他们丰富的想象，从而引领他们更加自信地在课堂上张扬自己的个性，培植他们健康个性和健全人格。
（二）运用开放题测试（专项测试），分析学生的思维
解决一个数学问题时学生常常有自己的解题策略，对同一年龄段的学生来说，他们的解题策略既有共性又有个性。但当学生去解决某一个数学问题时，他们到底会运用怎样的解题策略，采用不同策略的学生人数各有多少，这些问题并不十分清楚。
1、开放题测试：我们从教材中及课外资料中精选了一些问题，对小学四至六年级的学生进行测试，并从学生的解题中发现学生的解题策略，并分析学生解题策略的心理特征。
如：小学生解决“比较异分母分数的大小”问题的策略的研究 一、问题的提出
我们知道比较两个分数的大小有不同的方法。本文试图研究六年级学生在比较两个异分母分数的大小时，会运用哪些解题策略,男女学生之间有无差异。
二、测试的问题、对象和过程 1、测试的问题
比较分数的大小：你能用哪些方法来比较2、测试的对象
测试对象选取了六年级五个班的学生，共210人，其中男生112人，女生98人。这五个班均使用《现代小学数学》教材。
3、测试和访谈过程
某天中午，在学生不知情的情况下，由原任数学老师协助组织进行测试。在测试前，没有给学生任何的解题提示，也没有读题，直接让学生独立地解答，测试时间为20分钟。学生在解题过程中，没有任何的讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这个问题的水平。测试后，我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上，分别选择了用1－6种方法和7种方法解题的学生（共30人）进行了访谈。
三、测试结果及分析 1、正确率分析。
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2017和的大小？ 2118表1学生解题正确情况统计表 策略总数 1种策略 2种策略 3种策略 4种策略 5种策略 6种策略 7种策略 做的人数 男 28 24 30 16 7 5 2 女 18 32 26 15 4 2 1 合计 46 56 56 31 11 7 3 男 正确率 女 合计 71.4%（20） 77.8%（14） 73.9%（34） 91.7%（22） 84.4%（27） 87.5%（49） 86.7%（26） 80.8%（21） 83.9%（47） 100%（16） 86.7%（13） 93.5%（29） 85.7%（6） 75.0%（3） 81.8%（9） 100%（5） 100%（2） 100%（2） 0%（0） 100%（7） 66.7%（2） (说明：正确率=对的道数／做的道数×100％)
从表1可知，学生采用的解题策略的数量和正确率是不相同的，而且有着较大的差异。用1种策略的学生有46人，占总人数的21.9%，说明这部分学生的解题策略是比较单一的，解题的正确率也偏低，只有73.9%，还有5.7%（12人）的学生不能正确解答这道题。在这5.7%的学生中，有二名学生会通分，但同分母分数大小不会比较；五名学生在通分时计算出现错误；还有五名学生知道这道题可能化成同分母分数来比较，但不会通分。男女生在解题策略的数量和正确也存在着一定的差异。采用4种策略以下的女生的正确率是81.6%，男生的正确率是82.9%，正确率男生略高于女生。采用4种和4种以上策略的男生的正确率是96.7%，女生的正确率是81.8%，正确率是男生明显高于女生。
2、学生的解题策略已呈现出多样性。
通过对学生测试卷的分析，我们发现学生的解题策略是多样的。学生在解决上述的测试题时，主要有以下几种策略：
2017策略一：“通分法”。把和化成同分母分数来比较。
211820120119120171191720＝， ＝， 因为＜，所以＜。
21126126126181261821在被测试的学生中，采用这种策略的学生有202人，占总人数96.2%，其中在计算时出现错误的学生有18人，占采用这种策略人数的8.9%，知道方法而不会通分的学生有15人，占7.4%。
相对于其他策略来讲，这种策略的计算过程是复杂的，而采用这种策略的人数是最多的，并且采用这种策略的学生中只有一名学生第一种方法不是采用这种方法的。笔者访谈
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了8名学生，访谈记录如下：
师：你为什么第一种方法就采用通分法？ 生1：用通分做简单。 生2：老师讲过的。
生3、生4：平时一般是用通分来做。 生5：老师都用通分来做。 生6：通分用的多。
生7：以前比较分数大小，都用通分做。 生8：上课时，基本上是用通分来做。
执教老师他们一致认为出现这种现象是正常的。因为原《现代小学数学》教材在教“通分”这个概念时，就是以“两个异分母分数大小比较”引入的，而且在教学“两个异分母分数大小比较”时，提供的策略也是这种策略。从上面的访谈中不难发现，学生在解决数学问题时采用的策略与教材提供的策略和教师平时采用的策略有着密切的关系。
1720策略二：“化小数法”。把和化成小数来比较。
182120201717≈0.94， ≈0.95， 因为0.94＜0.95，所以＜
21211818在被测试的学生中，采用这种策略的学生有112人，占总人数的53.3%，其中在计算时出现错误的学生有17人，占采用这种策略的人数的15.2%，知道方法而不会把分数化成小数的学生有8人，占采用这种策略的人数的7.1%。
在访谈中，发现有一部分学生认为，只有能化成有限小数的分数才可以采用这种策略。笔者问学生：“你是怎么知道的？”学生说：“我们老师在做这样的题目时说过，只有能化成有限小数的分数，才化成小数来比较。”
2017策略三：“通分子法”。把和化成同分子分数来比较。
211820340173403403401720＝， ＝， 因为 ?,所以＜21357183603603571821在被测试的学生中，采用这种策略的学生有68人，占32.3%，其中在计算时出现错误的学生有8人，占11.8%，知道方法而不知道怎么运用的学生有3人，占4.4%。
策略四：“与1比较法”。把两个分数分别与1去比较求出它们与1相差多少，从而确定原来数的大小。 1720用1分别减和，通过对剩余数的大小比较，来比较原分数的大小。
1821
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1－17＝181， 因为11 ，1－201，所以1720。 ＝＞＜21211818211821在被测试的学生中，采用这种策略的学生有60人，占28.6％。
策略五：“关系比较法”。用分母与分子的关系进行比较，即两个真分数的分子和分母分别是相邻的自然数，分母大（或分子大）的分数大。
因为17和18是两个相邻的自然数，20和21是两个相邻的自然数。20＞18（或21＞17），所以17?20。
1821在被测试的学生中，采用这种策略的学生有45人，占21.4％。
策略七:：“扩整法”。把分数扩大成整数后进行比较，即用两个分数的分母18和21的公倍数分别去乘这两个分数，使分数都扩大同样的倍数，变成整数。整数大的，原分数较大。
17201720
?126＝119,?126＝120,因为119＜120，所以＜。18211821在被测试的学生中，采用这种策略的学生有15人，占7.1%，其中在计算时出现错误的学生有5人，占33％。
策略八：“倒数法”。用倒数进行比较，即分别求出大小，倒数大的，原数反而小。 171820211720的倒数是，的倒数是，因为＜。 181721201821在被测试的学生中，采用这种策略的学生7人，占3.3％。 策略八：“求差法”。用两个分数相减来比较。 因为20－17＝1，所以17＜20。
211812618211720的倒数，比较所得倒数的和1821在测试的学生中，采用这种策略的学生有8人，占3.8%。
策略九：“比值法”。用求两个分数的比值来比较，即求两个分数的比值，当比值大于1时，作为比的前项的分数大。反之，当比值小于1时，作为比的后项的分数大。
20171201201720:?,因为＞1，所以＜。 21181191191821在被测试的学生中，采用这种策略的学生有4人，占2.3%。 策略十：“化百分数法”。把
1720和化成百分数来比较成 182117201720 ?94％,?95％,因为94％＜95％，所以＜。18211821在被测试的学生中，采用这种策略的有4人，占1.9%。
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《小学生数学解题思维案例研究》结题报告
