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【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
28．（10分）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q． （1）求证：△BPE∽△CEQ； （2）求证：DP平分∠BPQ；
（3）当BP=a，CQ=a，求PQ长（用含a的代数式表示）．
【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ；
（2）只要证明△BPE∽△EPQ，推出∠BPE=∠EPQ，推出∠DPB=∠DPQ即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离；
【解答】解：（1）∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∵∠B=∠C=45°， ∴△BPE∽△CEQ，
（2）∵△BPE∽△CEQ，
...
...
∴=，
∵CE=BE， ∴
=
，
∵∠B=∠DEF=45°， ∴△BPE∽△EPQ， ∴∠BPE=∠EPQ， ∴∠DPB=∠DPQ， ∴DP平分∠BPQ． （3）
∵△BPE∽△CEQ， ∴
=
，
∵BP=a，CQ=a，BE=CE，
∴=，
∴BE=CE=∴BC=3
a， a，
∴AB=AC=BC?sin45°=3a， ∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a， 在Rt△APQ中，PQ=
=a．
【点评】本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
29．（12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、
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B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上． （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标； （4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
2
【分析】（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可； （4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出二次函数最值求出即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y=∴c=4，
∵顶点在直线x=上，
经过点B（0，4）
，得到ON=
，进而表示出△PMN的面积，利用
∴﹣=﹣=，
∴b=﹣；
；
∴所求函数关系式为
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
...
...
∴AB=，
∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 当x=5时，y=当x=2时，y=
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b， 则
，
， ，
解得：，
∴，
，
当x=时，y=∴P（
（4）方法一： ∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD， ∴
即
得ON=
），
，
设对称轴交x于点F， 则∵
（PF+OM）?OF=（+t）×
，
，
，
S△PNF=×NF?PF=×（﹣t）×=S==﹣
（﹣
），
（0＜t＜4），
...
...
a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值． 由S△PMN=﹣t+∴当t=
2
t=﹣（t﹣）+，
2
，
时，S取最大值是
此时，点M的坐标为（0，方法二：
）．
∵点B（0，4），D（2，0），∴KBD=∵MN∥BD， ∴KMN=KBD=﹣2，
=﹣2，
∵M（0，t），∴lMN：y=﹣2x+t，当y=0时，x=， ∴N（，0），
过点N作x轴的垂线交PM于H， ∵P（，），∴lPM：y=把x=代入，得y=
x+t， ，
∴HN=，
∴S△PMN=HN×（PX﹣MX）=当t=
时，S=
，
）．
，
∴点M的坐标为（0，
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．
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2019-2020学年泰安市新泰市中考数学二模试卷(有标准答案)
