课时作业25 二倍角的三角函数(二) 基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知2sinα＝1＋cosα，则tanα2＝( ) A.112 B.2或不存在 C．2 D．2或不存在 解析：由2sinα＝1＋cosα， 即4sinααα2cos2＝2cos22， 当cosαα2＝0时，则tan2不存在， 当cosαα12≠0时，则tan2＝2. ★答案★：B 2．若sin2α＝1?ππ?4，且α∈??4，2??，则cosα－sinα的值为( ) A.3 B.32 4 C．－3．－32 D4 解析：因为α∈??ππ?4，2???， 所以cosα ) | 所以cos2θ≤0， 所以cos2θ＝－1－sin22θ 1?37?2?＝－. ＝－1－?8?8?又cos2θ＝1－2sin2θ， ?1??－8?1－1－cos2θ??9所以sin2θ＝＝＝16， 223所以sinθ＝4. ★答案★：D α??α?πα?5．化简?sin2＋cos2?2＋2sin2?4－2?得( ) ????π??A．2＋sinα B．2＋2sin?α－4? ??π??C．2 D．2＋2sin?α＋4? ??αα??πα???π?解析：原式＝1＋2sin2cos2＋1－cos?2?4－2??＝2＋sinα－cos?2－α?＝2＋sinα??????－sinα＝2. ★答案★：C 二、填空题(每小题5分，共15分) θθ66．已知sin2－cos2＝3，则cos2θ＝________. θθ6解析：因为sin2－cos2＝3， 2所以1－sinθ＝3， 1即sinθ＝3， 272所以cos2θ＝1－2sinθ＝1－9＝9. 7★答案★：9 sinα＋cosα17．若＝，则tan2α等于________． sinα－cosα2sinα＋cosα1解析：由＝， sinα－cosα2得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα， 即tanα＝－3. －6632tanα又tan2α＝＝＝＝. 1－tan2α1－9843★答案★：4 38．函数y＝2sin2x＋cos2x的最小正周期为________． Ruize cos2x＋1333112解析：y＝2sin2x＋cosx＝2sin2x＋＝2sin2x＋2cos2x＋2＝2π?1?sin?2x＋6?＋2，所以该函数的最小正周期为π. ??★答案★：π 三、解答题(每小题10分，共20分) π??sin?α＋4???9．化简：(1)αα； 2α2cos2＋2sin2cos2－13π(2)已知π<α<2，化简： 1＋sinα1－sinα＋. 1＋cosα－1－cosα1＋cosα＋1－cosαππsinαcos4＋cosαsin4解析：(1)原式＝ cosα＋sinα22?sinα＋cosα?2＝＝2. cosα＋sinαα?α??α?α?sin2＋cos2?2?sin2－cos2?2????(2)原式＝＋， ?α??α??α??α?2?cos2?－2?sin2?2?cos2?＋2?sin2?????????3ππα3π∵π<α<2，∴2<2<4. αα∴cos2<0，sin2>0. α?α??α?α?sin2＋cos2?2?sin2－cos2?2????∴原式＝＋α?α? ?α?α－2?sin2＋cos2?2?sin2－cos2?????ααααsin2＋cos2sin2－cos2＝－＋ 22α＝－2cos2. sin?2α＋β?sinβ10．求证：sinα－2cos(α＋β)＝sinα. 证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ， sin?2α＋β?sinβ两边同除以sinα得sinα－2cos(α＋β)＝sinα. Ruize |能力提升|(20分钟，40分) 1?π?11．已知sinα＋cosα＝3，则2cos2?4－α?－1＝( ) ??817A.9 B.18 82C．－9 D．－3 118解析：∵sinα＋cosα＝3，平方可得1＋sin2α＝9，可得sin2α＝－9. π8??π?2?－α－2α????2cos4－1＝cos2＝sin2α＝－9. ????★答案★：C θ2cos22－sinθ－13π12．已知sin2θ＝5，0<2θ<2，则＝________. ?π?2sin?θ＋4???θ2cos22－sinθ－1解析： ?π?2sin?θ＋4???θ???2cos22－1?－sinθ??＝ππ? ?2?sinθcos4＋cosθsin4???sinθ1－cosθcosθ－sinθ1－tanθ＝＝sinθ＝. sinθ＋cosθtanθ＋1cosθ＋13π因为sin2θ＝5，0<2θ<2， 354sin2θ1所以cos2θ＝5，所以tanθ＝＝＝43， 1＋cos2θ1＋511－31－tanθ1所以＝＝2， tanθ＋113＋1θ2cos22－sinθ－11即＝2. ?π?2sin?θ＋4???1★答案★：2 13．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(3cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1. (1)求函数f(x)的最小正周期； Ruize (2)求函数f(x)的单凋递减区间． 解析：f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1 ＝3sin2x＋cos2x π??＝2sin?2x＋6?. ??2π(1)T＝2＝π. ππ3π(2)令2＋2kπ≤2x＋6≤2＋2kπ， π2π则6＋kπ≤x≤3＋kπ(k∈Z)， 即函数f(x)的单调递减区间为 2π?π??6＋kπ，3＋kπ?(k∈Z)． ?? 14．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？ 解析：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝π??20cosθ，且θ∈?0，2?. ??∵A，D关于原点对称， ∴AD＝2OA＝40cosθ. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ π??＝400sin2θ.∵θ∈?0，2?， ??π∴当sin2θ＝1，即θ＝4时，Smax＝400 (m2)． 此时AO＝DO＝102 (m)． 故当A、D距离圆心O为102 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. Ruize
北师大数必修④课时作业25二倍角的三角函数(二) Word含解析
