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1.3蚂蚁怎样走最近
专题 最短路径的探究
1. 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱 表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…，则 每一根这样的竹条的长度最少是______________. 2. 请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm，BC是底面 直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线. 小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：
222222设路线1的长度为l1，则l1?AC?AB?BC?5?(5?)?25?25?；
2路线2：高线AB + 底面直径BC，如上图（1）所示， 设路线2的长度为l2，
22则l2?(AB?BC)?(5?10)?225.
222比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便
?l1?l2?25?25?2?225?25?2?200?25(?2?8)?0.
∴l1?l2 ∴l1?l2
所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的 底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的方式进行计算. 请你帮小明完成下面的计算：
2路线1：l1?AC?___________________； 2路线2：l2?(AB?BC)?__________ ,
2222∵l1_____l2, ∴ l1_____l2( 填>或<).
所以应选择路线____________(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短. 3. 探究活动:有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为
2218?cm，蚂蚁爬行的速度为
2cm/s.
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）
（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）
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答案：
1.a2?b2 【解析】 底面周长为a、高为b的圆柱的侧面展开图为矩形,它的边长分别为a,b，所以对角线长为
2
a2?b2，所以每一根这样的竹条的长度最少是a2?b2. 2.解：（1）25+π 49 ＜ ＜ 1
222222
（2）l1=AC=AB+BC=h+（πr）， 222
l2=（AB+BC）=（h+2r）， 2222222
l1-l2=h+（πr）-（h+2r）=r（πr-4r-4h）=r[（π-4）r-4h]. r恒大于0，只需看后面的式子即可．
4h22
时，l1=l2；
?2?44h22
当r＞2时，l1＞l2；
??44h22
当r＜2时，l1＜l2．
??4当r=
3.解：（1）如图，AC=π?
18?÷2=9cm，BC=4cm，则蚂蚁走过的最短路径为：
AB=92?42=97cm，所以97÷2=9797（s），即至少需要s． 22
（2）如图，作B关于EF的对称点D，连接AD，交EF于点P，连接BP，则
蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD，由图可知，AC=9cm，CD=8+4=12（cm）． 所以AD=92?122=15（cm），15÷2=7.5（s） 即至少需要7.5s．
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2024北师大版数学八年级上册1.3蚂蚁怎样走最近练习题
