理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H． ∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形， ∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH=∠MFE，
∵AM=MF，∠AMH=∠FME， ∴△AMH≌△FME， ∴MH=ME，AH=EF=EC， ∴DH=DE， ∵∠EDH=90°，
∴DM⊥EM，DM=ME．
（3）如图3中，作MR⊥DE于R．
在Rt△CDE中，DE=∵DM=NE，DM⊥ME，
=12，
∴MR=⊥DE，MR=DE=6，DR=RE=6， 在Rt△FMR中，FM=
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==
如图4中，作MR⊥DE于R．
在Rt△MRF中，FM=故满足条件的MF的值为
=或
， ．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC； （3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；
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（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论． 【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4； （2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0， 解得：x=﹣2或4， ∴C（4，0），
如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G， ∵S△PBO=S△PBC， ∴∴OE=CF，
易得△OEG≌△CFG， ∴OG=CG=2，
设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M， tan∠PBM=∴BM=2PM， ∴4+x2﹣x﹣4=2x， x2﹣6x=0， x1=0（舍），x2=6， ∴P（6，8），
易得AP的解析式为：y=x+2， BC的解析式为：y=x﹣4，
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，
==，
∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2， ∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC， ∴∠ABE=∠ACB=45°， ∴△ABE∽△ACB， ∴∴∴AE=
，
， ，OE=
﹣2=
∴E（，0）， ∵B（0，﹣4）， 易得BE：y=3x﹣4， 则x2﹣x﹣4=3x﹣4， x1=0（舍），x2=8， ∴D（8，20）；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3， ∵∠BEA=∠BEC，
∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE， ∴
=
=
，
m，
设BE=2m，CE=4
Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2， ∴3m2﹣8（m﹣2
，
m+8=0， ）（3m﹣2
）=0，
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m1=2∴OE=4
，m2=，
m﹣4=12或，
∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4， ∴E（﹣12，0）；
同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4， ﹣x﹣4=x2﹣x﹣4， x=或0（舍） ∴D（，﹣
）；
）．
综上，点D的坐标为（8，20）或（，﹣
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2018年武汉市华中师范大学第一附属高中招生考试数学试卷
