F?xuxv?yuyv?zuzv?0
因此??z2ds???v2EG?F2dudv??2?v2dvaSD0?01?u2du
?4?33[aa2?1?ln(a?a2?1)](5)??x2?y2ds,S是球面x2?y2?z2?R2S解：S的参数方程为：??
x?Rcos?sin??y?R，0???2?，0?????sin?cos??z?Rcos???x?y?z????Rsin?sin?Rcos?sin?0
?
??x?y?z????????Rcos?cos?Rsin?os??Rsin??
??
E?x?2?y?2?z?2?Rnsin2?，G?R2，F?0
所以??(x2?y2)ds?R2sin2?R4sin?d?dS???D?R4?2?d???sin38?00?d??
3R44.设曲线L的方程为x?etcost，y?etsint，z?et(0?t?t0)，它在每一点的密度与该点的矢经形成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量.解：?(x,y,z)?k(x2?y2?z2)，由?(1,0,1)?1?k?
12所以?(x,y,z)?1
2(x2?y2?z2)
它的质量为：M??L?(x,y,z)ds?12?L(x2?y2?z2)ds
?1?t0(e2t20?e2t)3e2tdt?3?t0e3t330dt?
3(et0?1)5.设有一质量分布不均匀的半圆弧x?rcos?，y?rsin?(0????)，其线密度??a?为常数），求它对原点(0,0)处质量为m的质点的引力.a
（?
解：设引力F在x轴上的投影为Fx，在y轴上的投影为Fy.任取弧长微元ds，它对原点处质量为m
的质点的引力为?k??
dF?2ds?r0r其中k是引力常数，r0是向经的单位矢量??cos?,?sin??，将??a?，ds?rd??
代入，得dF在x,y轴上的投影为kaka??rd?(?cos?)??cos?d?，2rr
ka??kadFy?2?rd?(?sin?)??sin?d?rr
?kaka
Fx????cos?d???0r2rkaka
Fy????sin?d????r2r
dFx?
??22?ka
F的大小为Fx2?Fy2??2，方向为?,??
2r22??
故所以?????????
??cos,?sin???cos(?),sin(?)?，即方向沿x轴顺时针旋转444??44??
6.求螺线的一支L：x?acost，y?asint，z?
h
t(0?t?2?)对x轴的转动惯量2?I??(y2?z2)ds.设此螺线的线密度是均匀的.L解：不妨设线密度为1I??(y?z)ds??
L222?0h22h22(asint?(2t)?a?dt24?4?22a222?(?h)4?a2?h2237.求抛物面壳z?解：M?
12(x?y2)，0?z?1的质量，设此壳的密度??z.2212?42124222?d?rdr???ds?zds?(x?y)x?ydxdy????????00252SSD2228.计算球面三角形x?y?z?a，x?0,解：由对称性，设重心坐标为(x,y,z)?(t,t,t)
y?0,z?0得围成的重心坐标，蛇线密度??1.3
?a?t??xds??xds
LL1?L2?L32L1：x2?y2?a2，z?0；L2：y2?z2?a2，x?0；L3：x2?z2?a2，y?0
所以：xds?
?
L1?
?20?20acos??ad??a2?xds??
L2L30?ad??0
2xds?acos??ad??a??
?20所以：?
L(y2?z2ds)?2a22所以：t?2a
224443?4
a?a，故重心坐标为(a,a,a).23?3?3?3?229.求球壳x?y?z?a(z?0)时z轴的转动惯量.解：不妨设面密度为??1，则均匀球壳x?y?z?a(z?0)时z轴的转动惯量为：2222Iz???(x?y)??ds??d??a2sin2??a2sin?d?S0222??204??a4310.求均匀球面z?
a2?x2?y2(x?0,y?0,x?y?a)的重心坐标.解：由对称性可设重心坐标为(k,k,l)，则可不妨设??1
由于??x?ds???x?
SDaa?x?y
222dxdy?a?dy?
0aa?z2xa?x?y
220dx?a32?(1?)42222??z?ds???a?x?y?SDaa2?x2?y2aa?xdxdy?
13a2???ds???
SDaa?x?y
222dxdy?a?dx?
00?a22?(1?)22222a?x?y
dy
所以k???x?ds
S???ds?
D2a42?1
a
l???z?ds
S???ds?
D?所以：重心坐标为(
222?1a,a,a)44?11.若曲线以极坐标给出：???(?)(?1????2)，试给出计算计算下列曲线积分.（1）e
?
Lf(x,y)ds的公式，并用此公式?
x2?y2Lds，其中L是曲线??a(0???
kv?)；4（2）xds，其中L是对称螺线??ae
?
LL(k?0)在圆r?a内的部分.解：因为???(?)
所以?x??cos???(?)cos?，?
y??sin???(?)sin??
?1????2????(?)cos???(?)(?sin?)???(?cos???(?)sin?x?????(?)sin????(?)cos?y??2?y??2d????2(?)??2(?)ds?x?所以?
Lf(x,y)ds??f(?(?)cos?,?(?)sin?)?2(?)???2(?)d??1?2（1）L：??a，故ds?
?2???2d??ad??aae4?
Le
x2?y2ds??eaad??
k??40（2）L：??ae(k?0)在圆r?a内的部分??aek?与r?a的交点坐标为(0,a)??(?)?akek?所以ds?ae所以k?1?k2d?0?xds??
L??ae
k?cos??ae
k?1?kd?=a
221?k
2?
0??e
2k?2a2kk2?1
cos?d??
4k2?112.求密度???0的截圆锥面x?rcos?，y?rsin?，z?r(0???2?,0?b?r?a)对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力〉当b?0时，结果如何？解：对应于半径r处取斜交为ds的锥面带，其面积为ds?2?rds?22?rdr
它与顶点(0,0,0)的单位质点的引力在ox轴和oy轴上合力的射影显见为0.而在oz轴上的射影为dZ?
k22?rdr?0k??r2?z2?z
r2?z2?
0drr于是，截圆锥面吸引单位质点（在(0,0,0)处）的引力在坐标轴上的射影为X?0,
Y?0,
Z??
bk??0drar?k??a
0lnb当b?0?时，由于ln
a
b???，故在Z坐标轴上引力的射影趋于??计算F(t)?
??
f(x,y,z)ds，其中S是平面x?y?z?t，而Sf(x,y,z)???
1?x2?y2?z2,当 x2?y2?z2?1
?
0,当x2?y2?z2?1解：显然，平面x?y?z??3是球面x2?y2?z2?1的两个切平面，于是f(x,y,z)????
1?x2?y2?z2,若t?3??
0,若t?3由方程组??x?y?z?t
?x2?y2?z2?1
x2?y2?xy?t(x?y)?1?t2得椭圆方程2，记其围成区域为?，则F(t)????1?x2?y2??t?(x?y)?2?3dxdy
??3???1?t2?2(x2?y2)?2xy?2t(x?y)?dxdy
?作平移变换x?x??
tt3,y?y??3则椭圆方程变为x?2?y?2?x?y??1??t2?
2???
1?
3??
相应的区域为??，而函数为f?1?t2??2(x?23?y?2)?2x?y?，于是(1)13.
数学分析简明教程答案21
