2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优)含答案
一、圆的综合
1．如图1，已知扇形MON的半径为2，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y. （1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC； （2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.
【答案】 (1)证明见解析;(2) y?【解析】
x14?2.(0?x?2);(3) x?. x?22分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进而判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论； （2）先判断出BD=DM，进而得出
DMME1?，进而得出AE=（2?x），再判断出BDAE2OAOC2DM??，即可得出结论； OEODOD（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°． ∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM． ∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM， ∴AC=AM．
（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E． ∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM． ∵DE∥AB，∴∵DE∥AB，∴∴
DMME1?，∴AE=EM．∵OM=2，∴AE=（2?x）． BDAE2OAOC2DM??， OEODODDMOAx?，?y?．（0＜x?2） OD2OEx?2（3）（i） 当OA=OC时．∵DM?111BM?OC?x．在Rt△ODM中，222OD?OM2?DM2?2?12x． 41xDMx214?2?14?2y?，??∵．解得x?，或x?（舍）． OD12x?2222?x4（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．
（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在． 即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为
14?2． 2
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=
S11，求的值．
S22
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）【解析】 【分析】
3 4（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得
??PB??PD? ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结CD论；
（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=论． 【详解】 （1）连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠BCD=90°， ∵AD⊥CG，
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ACB=∠G=48°； （2）∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC， 由（1）得：∠G=∠ACB， ∴∠BCG=∠DAC，
3x，代入面积公式可得结4??PB?， ∴CD∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，
??PD?， ∴CD??PB??PD?， ∴CD∴∠BAD=2∠DAC， ∵∠COF=2∠DAC， ∴∠BAD=∠COF；
（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x， ∵tan∠CAF=∴AF=2x，
∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，
1CF= ， 2AF∵∠OFC=∠AGO=90°， ∴△COF≌△OAG， ∴OG=CF=x，AG=OF， 设OF=a，则OA=OC=2x﹣a， Rt△COF中，CO2=CF2+OF2， ∴（2x﹣a）2=x2+a2， a=
3x， 43x， 43x， 2∴OF=AG=
∵OA=OB，OG⊥AB， ∴AB=2AG=
13AB·OGx·xS1232???． ∴
S21CF·2x4AFx·2
【点睛】
圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；
??PB??PD?；（3）利用三角函数设未知数，根（2）根据外角的性质和圆的性质得：CD据勾股定理列方程解决问题．
3．已知eO的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．
?1?如图①，若m?5，则?C的度数为______o；
?2?如图②，若m?6．
①求?C的正切值；
②若VABC为等腰三角形，求VABC面积．
【答案】?1?30；?2?①?C的正切值为【解析】 【分析】
3432. ；②SVABC?27或
425?1?连接OA，OB，判断出VAOB是等边三角形，即可得出结论；
?2?①先求出AD?10，再用勾股定理求出BD?8，进而求出tan?ADB，即可得出结
论；
②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
?1?如图1，连接OB，OA，
?OB?OC?5， QAB?m?5， ?OB?OC?AB， ?VAOB是等边三角形，
??AOB?60o，
1??ACB??AOB?30o，
2故答案为30；
?2?①如图2，连接AO并延长交eO于D，连接BD，
QAD为eO的直径，
?AD?10，?ABD?90o，
在RtVABD中，AB?m?6，根据勾股定理得，BD?8，
?tan?ADB?AB3?， BD4Q?C??ADB，
3??C的正切值为；
4②Ⅰ、当AC?BC时，如图3，连接CO并延长交AB于E，
QAC?BC，AO?BO， ?CE为AB的垂直平分线， ?AE?BE?3， 在RtVAEO中，OA?5，根据勾股定理得，OE?4， ?CE?OE?OC?9，
11?SVABC?AB?CE??6?9?27；
22Ⅱ、当AC?AB?6时，如图4，
连接OA交BC于F，
QAC?AB，OC?OB， ?AO是BC的垂直平分线， 过点O作OG?AB于G，
11??AOG??AOB，AG?AB?3，
22Q?AOB?2?ACB， ??ACF??AOG，
AG3?， 在RtVAOG中，sin?AOG?AC53?sin?ACF?，
53在RtVACF中，sin?ACF?，
5318?AF?AC?，
5524?CF?，
5111824432?SVABC?AF?BC????；
225525Ⅲ、当BA?BC?6时，如图5，由对称性知，SVABC?432． 25
【点睛】
圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
4．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为?AB，P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
?的长； 思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为
C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
?【答案】发现： 90°，102； 思考：（1） 到折痕PQ的距离为30. 【解析】
10?；（2）25π?1002+100；（3）点O3分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论．
探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=
1OO′=30． 2详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点， ∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=OA2?OB2=102； 思考：（1）如图，连接OQ，
∵点P是OB的中点，
11OB=OQ． 22∵QP⊥OB， ∴∠OPQ=90°
∴OP=
在Rt△OPQ中，cos∠QOP=∴∠QOP=60°， ∴lBQ=
OP1?， OQ260??1010??； 1803（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝102， 在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2
解得OP=102?10，
90??1021S阴影=S扇形AOB-2S△AOP=?2??10?(102?10)
3602＝25π?1002+100；
探究：如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，
?则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是B?Q所在圆的圆心，
∴O′C=OB=10，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点， ∴O′C⊥AO， ∴O′C∥OB，
∴四边形OCO′B是矩形，
在Rt△O′BP中，O′B=62?42?25， 在Rt△OBO′K，OO′=102?(25)2=230， ∴OM=
11OO′=×230=30， 22即O到折痕PQ的距离为30．
点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=
n?R（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.
(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝
1 ，求AB和FC的长． 2
【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， CF?【解析】
40 3分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；
（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解. 详解：⑴证明：连结OC ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90° ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠B=∠FCA ∴∠FCA+∠OCA=90° 即∠OCF=90° ∵C在⊙O上 ∴CF是⊙O的切线
⑵∵AE=4，tan∠ACD∴CE=8
AE1? EC2∵直径AB⊥弦CD于点E ∴?AD??AC ∵∠FCA＝∠B ∴∠B=∠ACD=∠FCA ∴∠EOC=∠ECA ∴tan∠B=tan∠ACD=∴BE=16 ∴AB=20 ∴OE=AB÷2-AE=6 ∵CE⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90° ∴△OCE∽△CFE
CE1= BE2OCOE? CFCE106= 即
CF8∴∴CF?40 3点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.
6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA， 交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=
1，求AE的长． 3
【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】
分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线； （2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；
（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE?AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．
详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°． ∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB． ∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线； （2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B． ∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B． ∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE． ∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD； （3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD=
1OA=3，∴CD=OD﹣OC=2． ，∴OD=
3sinD ∵AD=OD2?OA2=22．
ADCDCD2? 又∵△CED∽△ACD，∴=2， ，∴DE=CDDEAD∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．
点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．
7．问题发现．
(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______．
(2)如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
(3)如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
【答案】(1) CD?【解析】
129615;(2) CM?MN的最小值为.(3) 5252试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C关于BD的对称点C?，过
C?作BC的垂线，垂足为N，求C?N的长即可;(3) 连接AC，则
S四AGCD?SVADC?SVACG，GB?EB?AB?AE?3?2?1，则点G的轨迹为以E为圆
心，1为半径的一段弧．过E作AC的垂线，与⊙E交于点G，垂足为M，由
VAEM∽VACB求得GM的值，再由S四边形AGCD?SVACD?SVACG 求解即可.
试题解析：
（1）从C到AB距离最小即为过C作AB的垂线，垂足为D，
CD?ABAC?BC??SVABC， 22AC?BC3?412??， AB55（2）作C关于BD的对称点C?，过C?作BC的垂线，垂足为N，且与BD交于M，
∴CD?
则CM?MN的最小值为C?N的长， 设CC?与BD交于H，则CH?BD， ∴VBMC∽VBCD，且CH?∴?C?CB??BDC，CC??∴VC?NC∽VBCD，
12， 524， 524?4CC??BC96， ∴5C?N???BD52596即CM?MN的最小值为．
25（3）连接AC，则S四AGCD?SVADC?SVACG，
GB?EB?AB?AE?3?2?1，
∴点G的轨迹为以E为圆心，1为半径的一段弧． 过E作AC的垂线，与⊙E交于点G，垂足为M， ∵VAEM∽VACB， EMAE?∴， BCACAE?BC2?48??， ∴EM?AC5583∴GM?EM?EG??1?，
55∴S四边形AGCD?SVACD?SVACG，
113??3?4??5?， 225?15． 2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．
8．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作?AC、
?、BA?，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对CB称图形，设点l为对称轴的交点．
（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为 ；
（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；
（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为 （请用含n的式子表示）
【答案】（1）3π；（2）27π；（3）23nπ． 【解析】
试题分析：（1）先求出?AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；
（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．
试题解析：解：（1）∵等边△ABC的边长为3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
60??3???ll?l∴===π，∴线段MN的长为，???AC?BC?ABABACBC180l??lBC=3π．故答案为3π； ??l?ACAB（2）如图1．∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，∴S矩形AGHF=2π×3=6π，
120??32=3π，∴图形在运动过由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG=
360程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；
（3）如图2，连接BI并延长交AC于D．∵I是△ABC的重心也是内心，∴∠DAI=30°，
13AD=AC=，∴OI=AI=
223AD=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I
?2cos?DAIcos30?所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，∴当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n?2π?3=23nπ．故答案为23nπ．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出?AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．
9．已知，?ABC内接于eO，点P是弧AB的中点，连接PA、PB； （1）如图1，若AC?BC，求证：AB?PC； （2）如图2，若PA平分?CPM，求证：AB?AC； （3）在（2）的条件下，若sin?BPC?24，AC?8，求AP的值． 25
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)25. 【解析】
【分析】
(1)由点P是弧AB的中点，可得出AP=BP, 通过证明?APC??BPC ,?ACE??BCE可得出?AEC??BEC进而证明AB? PC.
(2)由PA是∠CPM的角平分线，得到∠MPA=∠APC, 等量代换得到∠ABC=∠ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.
(3)过A点作AD⊥BC,有三线合一可知AD平分BC,点O在AD上，连结OB，则∠BOD＝∠BAC，根据圆周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC，由∠BOD=∠BPC可得
BD,设OB=25x ，根据勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的OB长，再次利用勾股定理即可求得AP的值. 【详解】
解：（1）∵点P是弧AB的中点，如图1， ∴AP＝BP，
在△APC和△BPC中 sin?BOD?sin?BPC??AP?BP?
?AC?BC， ?PC?PC?
∴△APC≌△BPC（SSS）， ∴∠ACP＝∠BCP， 在△ACE和△BCE中
?AC?BC???ACP??BCP， ?CE?CE?∴△ACE≌△BCE（SAS）， ∴∠AEC＝∠BEC， ∵∠AEC+∠BEC＝180°， ∴∠AEC＝90°， ∴AB⊥PC；
（2）∵PA平分∠CPM， ∴∠MPA＝∠APC，
∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°， ∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC， ∵∠APC＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC；
（3）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，
由（2）得出AB＝AC， ∴AD平分BC， ∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD＝∠BAC， ∵∠BPC＝∠BAC， ∴sin?BOD?sin?BPC=设OB＝25x，则BD＝24x， ∴OD＝OB2?BD2＝7x，
在RtVABD中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x， ∴AB＝24BD?， 25OBAD2?BD2＝40x，
∵AC＝8， ∴AB＝40x＝8， 解得：x＝0.2，
∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4， ∵点P是?AB的中点， ∴OP垂直平分AB， ∴AE＝
1AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°， 2在Rt?AEO中，OE＝AO2?AE2?3，
∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，
在Rt?APE中，AP＝PE2?AE2?22?42?25． 【点睛】
本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大.
10．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B． （1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】
35. 2(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果 【详解】
（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD， ∴∠3＝∠B， ∵∠B＝∠1， ∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°， ∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°， ∴OD⊥AD， 则AD为圆O的切线；
（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵OF⊥BD ∴DF＝BF＝
1BD＝3 2∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°
∴AD＝AC2?CD2＝25 ∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90° ∴△BFO∽△ACD
BFOB= ACAD3OB即=
254∴∴OB＝35 235． 2∴⊙O的半径为【点睛】
此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键
11．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为?AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E． （1）当DC⊥AB时，则
DA?DB＝ ； DC（2）①当点D在?AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；
②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式； （3）当
DEPD92时，求的值． ?OAAC20
【答案】（1）2；（2）①DA+DB＝2DC，②S＝【解析】 【分析】
1212DE242t﹣m ；（3）. ?24OA35（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；
（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关
系；
②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA?DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果． 【详解】
解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵C为?AB的中点，
?， ∴?AC?BC∴∠ADC＝∠BDC＝45°， ∵DC⊥AB，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°， ∴∠DAE＝∠DBE＝45°， ∴AE＝BE， ∴点E与点O重合， ∴DC为⊙O的直径， ∴DC＝AB，
在等腰直角三角形DAB中， DA＝DB＝2AB， 2∴DA+DB＝2AB＝2CD， ∴
DA?DB＝2； DC
（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，
?， 由（1）知?AC?BC∴AC＝BC， ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，
∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°， ∴∠NBC＝∠MCA， 在△NBC和△MCA中，
??BNC??CMA???NBC??MCA， ?BC?CA?∴△NBC≌△MCA（AAS）， ∴CN＝AM，
由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°， AM＝22DA，DN＝DB， 22222DB+DA＝（DB+DA）， 222∴DC＝DN+NC＝
即DA+DB＝2DC；
②在Rt△DAB中， DA2+DB2＝AB2＝m2，
∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA?DB， 且由①知DA+DB＝2DC＝2t， ∴（2t）2＝m2+2DA?DB， ∴DA?DB＝t2﹣∴S△ADB＝
12m， 2111DA?DB＝t2﹣m2， 2241212
t﹣m； 24（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G， 则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，
?， 由（1）知?AC?BC∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝∴AC＝BC，
∴△ACB为等腰直角三角形， ∴AB＝2AC， ∵
PD92， ?AC20设PD＝92，则AC＝20，AB＝202， ∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB， ∴△ABD∽△PBA，
∴∴
ABBDAD??， PBABPA202BD， ?DB?92202AB2?DB2＝122，
∴DB＝162， ∴AD＝设NE＝ME＝x， ∵S△ABD＝∴
111AD?BD＝AD?NE+BD?ME， 222111×122×162＝×122?x+×162?x， 222482， 7∴x＝∴DE＝2HE＝2x＝又∵AO＝∴
96， 71AB＝102， 2DE961242． ???OA710235
【点睛】
本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．
12．如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM． （1）求证：CM2=MN.MA；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．
【答案】（1）见解析；（2）CM=22. 【解析】 【分析】
·?DM·知?CAM??DCM，根∠CMA=∠NMC据证ΔAMC∽ΔCMN 即可（1）由CM得；
11PO??PC?CO?，据此22求得OA=OC=2，再证三角形CMD是等腰直角三角形得CM的长． 【详解】
（2）连接OA、DM，由直角三角形PAO中∠P=30°知OA?（1）QeO中，M点是半圆CD的中点，
·?DM·， ? CM??CAM??DCM， 又Q?CMA??NMC， ??AMC∽?CMN， CMAM? ?，即CM2?MN·MA； MNCM（2）连接OA、DM，
QPA是eO的切线，
??PAO?90?， 又Q?P?30?，
11?OA?PO??PC?CO?，
22设eO的半径为r，
QPC?2，
1?r??2?r?，
2解得：r?2， 又QCD是直径， ??CMD?90?， QCM?DM，
??CMD是等腰直角三角形，
?在Rt?CMD中，由勾股定理得CM2?DM2?CD2，即2CM2??2r??16，
2则CM2?8，
?CM?22． 【点睛】
本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点
13．如图，在过点作
的切线
中，，交
，以
为直径作
，交于点．
边于点，交
边于点，
的延长线于点，交
（1）求证：（2）若（2）4． 【解析】
，
； ，求
的半径．
【答案】（1）证明见解析；
试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得
列出方程即可解决问题．
试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°， ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∴△FOD∽△FAE， ∴∴
， ，
整理得R2﹣R﹣12=0， ∴R=4或（﹣3舍弃）． ∴⊙O的半径为4．
考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．
14．如图，（1）求证：（2）若②当
是大半圆的直径，是小半圆的切线； ，点在上运动（点不与时，求
两点之间的距离.
两点重合），设
，
.
是小半圆的直径，点是大半圆上一点，
与小
半圆交于点，过点作
于点.
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
【答案】（1）见解析；（2）①或
. 【解析】 【分析】
，，②两点之间的距离为
（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．
（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP?OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．
②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离． 【详解】 （1）连接
，如图1所示
∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴∵
是小半圆的直径，
即
，
，
.，即
经过半径
，
的外端，且，
∴直线∴∴∴∴∴∵∴
,
是小半圆的切线.
（2）①∵
∽
,
，
；当点与点重合时，
两点重合）， ，
.
当点与点重合时，∴
∵点在大半圆上运动（点不与
∴与之间的函数关系式为自变量的取值范围是②当解得Ⅰ当
时，,
时，如图2所示
在∵∴∴∵∴∵∴∴
中， ，
，
， 是等边三角形
.
Ⅱ当
时，如图3所示，
同理可得∵∴∴过点作∵∴同理在∵∴
，垂足为，连接
，
，如图3所示
中， ，
综上所述，当【点睛】
考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．
时，
两点之间的距离为
或
.
15．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．
（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=①求证：DE是⊙O的切线； ②求PC的长．
【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3． 【解析】
试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；
（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可； ②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案． 试题解析：（1）如图2，连接OD， ∵OP⊥PD，PD∥AB， ∴∠POB=90°， ∵⊙O的直径AB=12， ∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°， ∴OP=OB?tan30°=6×在Rt△POD中， PD=
=
=
；
=2
，
1AB，连接DE． 2（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD， ∵
，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°， ∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形， ∴OD⊥FB， ∵BE=
AB，
∴OB=BE， ∴BF∥ED，
∴∠ODE=∠OFB=90°， ∴DE是⊙O的切线； ②由①知，OD⊥BC， ∴CF=FB=OB?cos30°=6×在Rt△POD中，OF=DF， ∴PF=
DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），
﹣3．
=3
，
∴CP=CF﹣PF=3
考点：圆的综合题
2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优)含答案
