6．1 平面向量的概念
考点 平面向量的相关概念 学习目标 了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 核心素养 数学抽象 平面向量的几何表示 数学抽象 相等向量与共线向量 数学抽象、逻辑推理
问题导学
预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
→→
4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段
①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向→
线段记作AB．
→→
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|. (3)向量的表示
1
■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
→
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
→→→
(1)向量的模(长度)：向量AB的大小，称为向量AB的长度(或称模)，记作|AB|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b. ■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( )
→→
(5)向量AB与向量BA是相等向量．( )
(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
2
→
A．也可以用MN表示 C．起点是M 答案：D
→
已知点O固定，且|OA|＝2，则A点构成的图形是( ) A．一个点 C．一个圆 答案：C
→
如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有________．
B．一条直线 D．不能确定
B．方向是由M指向N D．终点是M
→→
答案：AB，DC
向量的相关概念
给出下列命题：
→→
①若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； →→
②在?ABCD中，一定有AB＝DC； ③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
→→
【解析】 AB＝DC，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD→→→→→→
中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．
【答案】 ②③
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题
3
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
1．下列说法中正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小
解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．
2．下列说法正确的是( )
→→→→
A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
→→→→
解析：选C.向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
向量的表示
在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
→→
(1)OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°方向上； →→
(2)AB，使|AB|＝4，点B在点A正东方向上； →→
(3)BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
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【解】 (1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小→
方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小→
方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA，如图所示．
→
(2)由于点B在点A正东方向上，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格→
数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB，如图所示．
→
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出→
向量BC，如图所示．
用有向线段表示向量的步骤
已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B
地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 0002 km 到达D地．
→→→→
(1)作出向量AB，BC，CD，DA；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
→→→→
解：(1)由题意，作出向量AB，BC，CD，DA，如图所示．
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