如何复习线形代数
线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系.
在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.
一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力
线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查
四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识
计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，
第一章 行列式
一.概念复习
1. 形式和意义
形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … . an1 an2 … ann 如果行列式的列向量组为1,2, … ,n,则此行列式可表示为|1,2, … ,n|.
意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.
请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.
当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数
可不同.)
每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.
行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … an1 an2 … ann
的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:a1j1a2j2?anjn,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…jn)为全排列j1j2…jn的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.
逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:
323200 436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项a1j1a2j2?anjn所乘的是(?1)?(j1j2?jn).即逆序数是偶数时，该项为正；逆
序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值:
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n =1j2?jn)a1jj?(?1)?(j1a2j2?anjn.
1j2?jn… … … an1 an2 … ann
这里
表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.
j?1j2?jn用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算
行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.
对角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。 关于副对角线：
?a1n?a1na2n?1N?a2n?1N?(?1)n(n?1)2a1na2nKan1
an1?an1?4、代数余子式
把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij
的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.
定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.
5、化零降阶法
化零降阶法 用行列式的性质把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式；或者直接把行列式化成三角行列式，
化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 6、行列式的性质
① 把行列式转置值不变,即|AT|=|A| .
② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |cA|=cn|A|.
③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.
④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.
⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.
⑥ 如果在行列式某一行、列的元素，加上另一行、列对应元素的K倍，则行列式的值不变。
⑦某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.
7.范德蒙行列式：
形如
1 1 1 … 1 a1 a2 a3 … an
a12 a22 a32 … an2
… … … …
a1n-i a2n-i a3n-i … ann-I 的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,an所决定,它的值等于?i?j(aj?ai).
因此范德蒙行列式不等于0? a1,a2 ,a3,…,an两两不同.
对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.
8、克莱姆法则
克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0，则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值。
说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值，因此法则的主要意义在理论上，用在对解的唯一性的判断。
法则的改进:系数行列式不等于0是非齐次线性方程组有唯一解的充要条件. 用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0，或者表述为：如果齐次方程组有非0解，则它的系数行列式|A|=0。第四章可证明：|A|=0是齐次方程组有非0解的充要条件。
例 题
一. 填空题
1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为______.
解：a12a21a33a44中列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为 2. 写出四阶行列式中含有因子a11,a23的项。 解：?a11a23a32a44或a11a23a34a42 3. 在五阶行列式中(?1)?(15423)??(23145)a12a53a41a24a35=______a12a53a41a24a35.
解：15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”.
2x1?14. 在函数f(x)??x?xx中, x3
的系数是______.
12x解: x3的系数只要考察2x?x?x2x??2x3?4x2,所以x3前的系数为2.
5x1235. 行列式D21x3，D4?4的展开式中，x4的系数是 ，x3的系数是。 xx23121?3x解：利用行列式的性质，将含有变量x的项移到主对角线上。将行列式的第2、3行交换，得
5x1235x123Dxx234??181221x3（第1行?(?15)加到第2列）??0x?555 121?3x21x3121?3x含x4，x3的项仅有主对角线上元素乘积项，即
?(?1)?(1234)a?1?11a22a33a44???5x?(x?5)?x?(?3x)???15x4?3x3
所以，x4，x3的系数分别是15，?3。
ab06. 设a, b为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, ?ba0?0.
?10?1ab0解：?ba0??1ab??(a2?b2)?0. 所以a = b = 0.
?10?1?ba7. 在n阶行列式D = |aij|中, 当i < j时aij = 0 (i, j =1, 2, …, n), 则D = ______.
a110?0解: a21a22?0???a11a22?ann
an1an2?ann?A18. 设A为3×3矩阵, |A| =－2, 把A按行分块为A????A?2, 其中Aj (j = 1, 2, 3)是A?A??3??A3?2A1的第j行, 则行列式
3A2?______.
A1A3?2A1A3?2A1A1解:
3A2?3A2??3A2??3|A|?6
A1A1A3二．计算证明题
1.计算以下行列式的值
1112. 设a，b，c是互异的实数，证明：abc=0的充要条件是a?b?c?0a3b3c3111解：
0b?ac?a??b?a??c3?a3???c?a??b3?a3?0b3?a3c3?a3
??b?a??c?a??c2?ac?b2?ab???b?a??c?a??c?b??a?b?c??0因为a，b，c是互异的实数，所以a?b?c?0。
xx2x33. 设F(x)?12x3x2,求F'(x). 026xxx2x31xx21xx21xx2解：F(x)?12x3x2=2x12x3x2=2x0x2x2=2x2012x 026x013x013x013x =2x2??1?1?1?3x?2x??2x3 所以 F'(x)?6x2
x1?1x1?2?x1?n4. 计算n阶行列式Dx2?1x2?2?x2?nn?????(n 2). xn?1xn?2?xn?nx1x1?2?x1?n1x1?2?x1?nDx2?2?x2?nx2?2?x2?nn?x2????+1???? xnxn?2?xn?n1xn?2?xn?nx1x1x1?3?x1?nx12x1?3?x1?n =
x2x2x2?3?x2?nx22x2??????+3?x2?n?????
xnxnxn?3?xn?nxn2xn?3?xn?n1x1x1?3?x1?n12x1?3?x1?n +
1x2x2?3?x2?n12x2?3?x2?????+?n?????
1xnxn?3?xn?n12xn?3?xn?n1x1x1?3?x1?n1x1x1?x1?n1x13?x1?n =－1x2x2?3?x2?n1x2x2?x2?n1x23?x?????=－?????－2?n?????= 0
1xnxn?3?xn?n1xnxn?xn?n1xn3?xn?n当n?2x1?1x1?2x?x2
2?1x2?2?x11?5135.设|A|?1134计算A41 + A42 + A43 + A44 = , 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素11232234a4j的代数余子式.
1?5131?513 解：A?111346216211123?00610?0?1?1?6
1111060?20?2?3 10126.已知A??1103试求：（1）A12?A22?A111032?A42=
?1254（2）A41?A42?A43?A44= 解：（1）A12?A22?A32?A42=0
10121012（2）解 ：A??110301151151110?010?2?0?1?7??1 ?1111010?10?1?6根据第5、6题可以总结：代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0 ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A
7.试证: 如果n次多项式f(x)?Cn0?C1x??Cnx对n + 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)
证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, xn. 将它们代入多项式, 得关于Ci方程组
C0?C1x0??Cnxn0?0
C0?C1xn1??Cnx1?0
………… C0?Cn1xn??Cnxn?0
系数行列式为x0, x1, …, xn的范德蒙行列式, 不为0. 所以
C0?C1???Cn?0
?x0x21xn?10?1111A??1x2n?x0x1x2xn?1x2x1??????????????i?j?xj?xi?
??1xx2n?nnxn??xnn1x1xn2xnn因为x的值各不相同，所以A?0，A?0?齐次线性方程组只有0解。
C0?C1?C2????Cn?0
线性代数第一章行列式试题及答案
