曼昆《宏观经济学》（第6、7版）
第3篇 增长理论：超长期中的经济
第7章 经济增长Ⅰ：资本积累与人口增长
复习笔记
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1．资本积累
（1）单位劳动生产函数
①总生产函数为： Y?F?K,L? ②定义： y?Y/L?单位工人产出
k?K/L?单位工人资本
假设生产函数是规模报酬不变的，即对任意z?0有：zF?K,L??F?zK,zL?。 ③当z?1/L，那么
Y/L?F?K/L,1?
这个式子表示，人均产出Y/L是人均资本量K/L的函数（数字“1”是不变的，从而可以忽略）。规模收益不变的假设意味着，经济的规模——用工人人数来衡量——并不影响人均产出与人均资本量之间的关系。
由于经济规模是无关紧要的，所以可以证明以人均额来表示所有数量是方便的。用小写字母来表示这些量，因此y?Y/L是人均产出，k?K/L是人均资本量。这样，可以把生产函数写为：y?f?k?。
1?。图7-1显示了这一生产函数。 在这里，定义f?k??F?k，
图7-1 生产函数
这个生产函数的斜率表示当给定一单位额外资本时，一个工人生产的额外产出是多少。 这个量是资本的边际产量MPK。数学上，可以写为：MPK?f?k?1??f?k?。 ④国民收入恒等式（不考虑政府支出和净出口）
y?c?i 由储蓄率为s可知：
c??1?s?y
则：
i?y?c?sy?sf?k?
即投资等于储蓄。
⑤人均资本折旧=折旧率（?）×人均资本水平（k）。 （2）资本存量的增长和稳定状态
①投资使资本存量增加，折旧使资本存量减少。 因此，资本存量变动等于同期的投资减折旧：
?k?i??k 而i?sf?k?，所以：?k?sf?k???k。 ②索洛模型的核心方程：?k?sf?k???k。
该方程决定了资本随时间的运动情况；同时也决定了其他内生变量，因为所有的内生变量都依赖于k，如：
人均产出： y?f?k? 人均消费： c??1?s?f?k? ③稳定状态
当投资和折旧相等时，就会有：?k?sf?k???k?0。
图7-2 投资、折旧和稳定状态
人均资本存量保持不变，记为k*，称之为稳定状态的人均资本存量。
在稳定状态，由于人均资本存量保持不变，所以人均产出也保持不变，即人均产出增长
率为零。
（3）趋近稳定状态
如图7-2所示，资本存量越多，产出量和投资量就越大。但资本存量越高，折旧量也越大。
资本的稳定状态k*是投资等于折旧的水平，这表示资本量不随时间而变化。
①初始资本水平小于k*时，投资sf?k?大于折旧?k，所以人均资本会增加。也就是说，只要投资大于折旧，人均资本水平就会向右移动，直到达到k*时，投资和折旧相等，人均资本不再发生移动，经济达到了均衡状态。
②当初始资本水平大于k*时，原理和①一样，只是现在折旧大于投资，因此人均资本水平会下降，直到达到k*，折旧和投资相等，经济达到稳定状态。
（4）储蓄率与增长的关系
图7-3 储蓄率的提高
①储蓄率上升会增加投资，从而增加人均资本存量以及人均产出。
②如图7-3所示，经济初始处于稳定状态，当储蓄率上升，储蓄曲线也随之向上移动，
?储蓄（投资）就高于折旧，于是人均资本存量增加，直到达到K2，经济重新达到稳定状态。
由于人均资本存量增大了，所以在新的稳定状态下，人均产出水平高于经济初始水平。
③索洛模型预测：储蓄率是稳定状态资本存量的关键决定因素，从长期看，如果一国有更高的储蓄率和投资，则将有更高的人均资本存量和产出水平。
如果储蓄率高，经济的资本存量就会大，相应的产出水平就会高。如果储蓄率低，经济的资本存量就会少，相应的产出水平就会低。这个结论也说明：减少储蓄率的长期后果是较低的资本存量和较低的国民收入。这就是许多经济学家批评长期预算赤字的原因。
2．资本的黄金律水平 （1）资本的黄金律水平
①定义：资本的黄金律水平就是指稳定状态时人均消费最大化所对应的人均资本水平。 ②意义：资本的黄金律水平描述了如何将产出在消费和投资间分配才能使经济福利最大 化。经济福利通常以人均消费来衡量。 ③解法：
??资本的黄金律水平。首先，把c*表示为k*的式子： 设Kgoldc*?y*?i*?f?k*??i*?f?k*???k*
求解最大化c*，可得：
MPK??
这就是资本的黄金律水平的条件。
如图7-4所示，f?k*?曲线代表人均产出，?k*代表折旧，也代表稳态时的投资，那么
?两曲线之间的差距就代表稳态时的人均消费水平。求解Kgold，也就是找到使f?k*?曲线和
?k*之间的差最大时的资本水平，那么在这个资本水平下两曲线的斜率相等，f?k*?的斜率为MPK，?k*的斜率为?，所以仍然得到资本的黄金规则水平条件：MPK??。
图7-4 稳定状态的消费
（2）向黄金律稳态的过渡
①特点：
a．经济体系不会自发地向黄金律稳定状态过渡。
b．要达到黄金律稳定状态，要求政策制定者调整储蓄率。 c．这种调整将使经济达到更高消费水平的新的稳定状态。
d．但是在过渡的过程中，消费的变动是不确定的，这取决于初始资本水平与资本的黄金律水平间的大小关系。
?②初始资本水平大于Kgold的情况
?如图7-5所示，由于初始经济的资本水平大于Kgold，要使经济过渡到黄金律稳态，就
要减少储蓄，因此在整个过渡过程中，人均消费水平都高于初始状态。
图7-5 储蓄率的下降
?③初始资本水平小于Kgold的情况
?如图7-6所示，由于初始经济的资本水平小于Kgold，要使经济过渡到黄金律稳态水平，
就要增加储蓄，从而在短期内消费水平会下降，当然达到稳态后消费水平会高于初始情形。
图7-6 储蓄率的提高
3．人口增长
（1）有人口增长的稳定状态 ①两个概念
资本扩展化也即资本广化，指为使人均资本保持不变而进行的投资，又称之为补偿投资或收支相抵的投资（break-even investment）。所以，在没有人口增长和技术进步的情况下，资本扩展化就等于折旧?k。在人口增长率为n的情况下（仍然没有技术进步，涉及技术进步的情况会在下一章讨论），资本扩展化就等于???n?k。
资本深化指人均资本存量的累积。资本深化大于零，就说明人均资本在增加；资本深化等于零，就说明经济达到了稳定状态。
投资就是用于资本扩展化和资本深化这两方面，也就是说：投资=资本扩展化+资本深化。 那么资本运动方程实际上就是：资本深化=投资-资本扩展化。
稳定状态时资本深化为零，所以稳定状态条件也可以表示为：投资=资本扩展化。 ②资本运动方程
在加入了人口增长因素之后，资本运动方程变为：?k?sf?k?????n?k。 新的稳态条件为：sf?k?????n?k。
如图7-7所示，在稳定状态，投资对人均资本存量的正效应正好与折旧和人口增长的负效应平衡。这就是说，在k*，?k?0，而且，i*??k*?nk*。一旦经济处于稳定状态，投资就有两个目的：一些投资（?k*）用于替代折旧的资本；其余的投资（nk*）给新增加的人口提供稳定状态的资本量。
曼昆宏观经济学第67版笔记经济增长Ⅰ资本积累与人口增长
