概率论与数理统计试题与答案
(2012-2013-1)
概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分 1、设 P( A)
18 分，每题 3 分）
0.7, P( A B) 0.3, 则 P( AB ) =
。
2、设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ，若 p( X
1)
5 9
，则 p(Y 1)
。
3、设 X 与 Y 相互独立， DX 2, DY 1 ，则 D (3X
4Y 5)
。
4、设随机变量 X 的方差为 2，则根据契比雪夫不等式有 P{ X - EX
n
2}
。
5、设 (X 1 ,X 2 , , X n ) 为来自总体
2 (10) 的样本，则统计量 Y
i X i 服从
1
分布。
26、设正态总体 N ( , ) ， 2
未知，则 的置信度为 1
的置信区间的长度
L
。（按下侧分位数） 15 分，每题 3 分）
）
二、选择题（本题满分 1、
若 A 与自身独立，则（
(A) P(A) 0 ； (B) P(A) 1； (C) 0 P( A) 1 ； (D) P( A)
）
0 或 P( A) 1
2、下列数列中，是概率分布的是（
(A) p( x)
x1
, x
0,1,2,3,4 ；
(B) p( x)
15
5 x 2 , x 0,1,2,3
6 x 1 , x 1,2,3,4,5 25
(C) p( x)
, x 3,4,5,6 ；
4
(D) p( x)
3、设 X ~ B( n, p) ，则有（ (A) E( 2X (C) E( 2X
） (B)
1) 2np D (2 X D (2X
1) 4np(1 p) 1) 4np(1 p) 1
1) 4np 1 (D)
4、设随机变量 X ~ N ( (A) 单调增大
(B)
, 2 ) ，则随着
的增大，概率 P
(D)
X
（ ）。
单调减小 (C) 保持不变 增减不定
5、设 ( X1 , X 2 , , X n ) 是来自总体 X ~ N ( , 本方差，则下列结果 错误 的是（ ．．
2
) 的一个样本， X 与 S2 分别为样本均值与样
）。
n
2
2
n 1 S
2
2
2
i 1
X i
2
2
（ A）EX
；（ B）D X
；（ C）
~
(n 1) ； （ D） ~ (n) 。 三、（本题满分 12 分）
试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案
是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任
选１个答案。设考生会解这道题的概率为０
. ８，求：（１）考生选出正确答案的概率
（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率
0 1
x 0 x 1
四、（本题满分 12 分）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x)
Ax 2 0
x 1 ，试求常数 A 及
X 的概率密度函数 f ( x) 。
五、（本题满分 10 分）设随机变量 X 的概率密度为 f ( x)
1 e x ， (
2
2 x
) ，试求数
学期望 E( X ) 和方差 D ( X ) 。
1 x
六、（本题满分 13 分）设总体 X 的密度函数为 f ( x)
xe 2 x 0 x
0 ，其中
0
0
试求 的矩估计量和极大似然估计量。
七、（本题满分 12 分）某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为（ , , , ,
%）
设测定值总体服从正态分布 , 但参数均未知，问在
0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含
量的均值为。（已知 t0 .995 (4) 4.6041 ） 八、（本题满分 8 分）设 (X 1 ,X 2 , , X 10 ) 为来自总体 N ( 0,0.32 ) 的一个样本，求 10
PX i2 i 1
1.44 。（ 02. 9 (10) 15.987 ）
概率试统计模拟一解答
一、填空题（本题满分
18 分，每题 3 分）
1、； 2 、
19
； 3 、 34； 4 、
1 ； 5 、
2
(10 )
n ；6、
2S
t
(n 1)
2
27
二、选择题（本题满分
2
n 1
15 分，每题 3 分）
1、Ｄ； 2 、Ｃ； 3 、Ｂ； 4 、Ｃ； 5 、Ｂ
三、（本题满分 12 分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案 （１）由题意知： P( B)
0.8 ， P( B)
1 0.8 0.2 ， P( A B) 1 ， P( A B)
1 4
0.25 ，
所以 P( A) P( B)P(A B)
P(B) P( A B) 0.85 , （２） P( B A)
P( B)P( A B) P( A)
0.941 四、（本题满分 12 分）解： F (1 0)
f (1)
A
12 A ，而 F (1 0) f (1)
lim( 1) 1，
x 1 0
A 1
对 F ( x) 求导，得 f (x)
2x 0 x 1 0
其它
0 ； DX
0
五、（本题满分 10 分）解： E(X )
2
x
2
六、（本题满分 13 分）矩估计： EX
1
x e 2 dx
2
,
X ,
n
n
xi2
极大似然估计 ：似然函数 L xi ,
n i 1
n i 1
1 xi2 2
e
i 1
2
x1 x2 xn ,
ln L xi ,
n ln ln L xi ,
ln xi
n
n
x
2 i
2 0，
1 n 2n i 1
0
2 xi
i 1
2
七、（本题满分 12 分）解：欲检验假设
H 0 : 3.25, H 1 : 0
因
2
未知，故采用 t 检验，取检验统计量 t
X
S
0
n ，今 n 5 ，x
3.252 ，S 0.013 ，
0.01， t1
/ 2 (n 1)
t 0.995 (4) 4.6041，拒绝域为
t
X
0
n
t1 / 2 ( n 1) 4.6041，因 t 的观察值
s
t
3.252
3.25
0.344 4.6041，未落入拒绝域内，故在
0.01下接受原假设。
0.013/ 5
10
2
2
八、（本题满分 8 分）因 X i ~ N (0,0.3 ) ，故
10
10
i 1
X i 0.3
~ 2 (10)
PX i2
i 1
1.44 P
X i2 / 0.32 1.44/ 0.32
i 1
P
2 (10)
16 0.1
概率统计模拟题二
本试卷中可能用到的分位数：
t0.95 (8) 1.8595 ， t0. 95 (9) 1.8331， t 0.975 (8) 2.306 ， t 0.975 (9) 2.2662 。 一、填空题 （本题满分 15 分，每小题 3 分） 1、设事件 A, B 互不相容，且 P( A)
p, P( B) q, 则 P( AB ) 0 0.3 0.6 1
.
x 1 x 1 x x
。
1 1 2 2
2、设随机变量 X 的分布函数为： F ( x)
则随机变量 X 的分布列为
3
、设两个相互独立的随机变量
X Y 和 分别服从正态分布
N (1, 2) 和 N ( 0,1) ，则
P( X Y 1) =
。
4、若随机变量
X 服从 [ 1,b] 上的均匀分布，且有切比雪夫不等式
P( X 1)
2 , 则 3
b
,
。
5、设总体 X 服从正态分布 N (
n
,1) ， ( X1 , X 2 ,
,
X n 为来自该总体的一个样本，则
)
( Xi
i 1
) 2 服从
分布
二、选择题 （本题满分 15 分，每小题 3 分）
1、设 P( AB) 0, 则有（
）。
(A) A和B 互不相容 (B) A和B 相互独立； (C) P( A)
B) P( A) 。
0 或 P(B) 0 ； (D)
P( A
2、设离散型随机变量 （
X 的分布律为： P( X k) b
k
( k 1,2L ), 且 b
0 ，则 为
）。
(A)
1 ； (B) b 1
1 ； (C) b 1
b 1 ； (D) 大于零的任意实数。
6 和 3，则 D (2 X Y ) =（
3、设随机变量
X 和 Y 相互独立，方差分别为
）。
(A) 9 ； (B) 15 ； (C) 21 4、对于给定的正数
； (D) 27 。
，设
，
2
2
， ( , ) 分别是 N (0,1) ， ( ) 0
1
u ， (n) ，t (n)
F n1 n2
）
n ，
t (n) ， F ( n1 ,n2 ) 分布的下 分位数，则下面结论中 不正确 的是（
．．．
（ A） u
u1
2
； （ B） 1
(n)
2
( n) ；（ C）t ( n)
t1 (n) ； （ D） F1 (n1, n2 )
1 F (n2, n1 )
5、设 ( X1 , X 2 ,
, X n ) (
n
3
) 为来自总体
X
的一简单随机样本， 则下列估计量中 不是 总体
．．
期望 的无偏估计量有（
）。 (A) X ； (B)
X1 X 2
X n ； (C) 0.1 (6 X1
4X 2 ； (D) X1 X 2
)X3 。
三、（本题满分 12 分）
假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某
时期内甲河流泛滥的概率为；乙河流泛滥的概率为；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为，
试求：
（ 1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （ 2）当乙河流泛滥时 , 甲河流泛滥的概率。
A 1 x2 0, ,
x
1 1
四、（本题满分 12 分）
设随机变量 X 的分布密度函数为 f (x)
x
试求： （ 1）常数 A ；
（ 2） X 落在 ( , ) 内的概率；
11
（ 3） X 的分布函数 F (x) 。
2 2
五、（本题满分 12 分）
设随机变量
X 与 Y 相互独立，下表给出了二维随机变量 ( X , Y) 的联合分布律及关于 X 和
概率论及数理统计试卷试题包括答案.doc
