中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合A?x|x?2x?3?0，B??x|ax?1? 2?? 若B?A，则实数a的值构成的集合为 （答：??1，0，?） 3. 注意下列性质： （1）集合a1，a2，??，an的所有子集的个数是2； （2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律： ??1?3???nCU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB? ax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a 2x?a 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。 （∵3?M，∴ a·3?5?023?aa·5?5?052?a5???a??1，???9，25?） 3??∵5?M，∴ 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和 “非”(?).
若p?q为真，当且仅当p、q均为真
若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若?p为真，当且仅当p为假
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6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是 （答：0，2?2，3?3，4） 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是_____________。 （答：a，?a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f 令t????????????2x?1?ex?x，求f(x). ?x?1，则t?0 ∴x?t?1 ∴f(t)?et2?1?t2?1 ?x2?1?x?0? ∴f(x)?ex2?1 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） ??1?x 如：求函数f(x)??2???x?1?x?0?的反函数 ?x?0???x?1?x?1? （答：f(x)??） ????x?x?0? 13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a
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?f?1?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b
14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？
（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)?（外层）（内层）
当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数，否则f??(x)?为减函数。） 如：求y?log1?x?2x的单调区间 2?2? （设u??x?2x，由u?0则0?x?2 且log1u?，u???x?1??1，如图： 222 u O 1 2 x 当x?(0，1]时，u?，又log1u?，∴y? 2 当x?[1，2)时，u?，又log1u?，∴y? 2 ∴??） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 ??零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？ 如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0
B. 1
23?? C. 2 D. 3
f'(x)?3x?a?3?x? （令??a??a???x???0 3??3? 则x??a或x?3a 3中国教育开发网
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由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则a?1，即a?3 3 ∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。 a·2x?a?2为奇函数，则实数a? 如：若f(x)?x2?1 （∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0 a·20?a?2?0，∴a?1） 即02?12x， 又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?x4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。 2?x （令x???1，0?，则?x??0，1?，f(?x)??x 4?12?x2x?? 又f(x)为奇函数，∴f(x)???x 4?11?4x?2x??x?4?1 又f(0)?0，∴f(x)??x?2??4x?1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）
如：若f?x?a???f(x)，则
x?(?1，0)x?0x??0，1?） 中国教育开发网
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（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b??? 即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x) 则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期 如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称 f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称 左移a(a?0)个单位y?f(x?a)?? 将y?f(x)图象???????? y?f(x?a)右移a(a?0)个单位?? ???????? 注意如下“翻折”变换：
上移b(b?0)个单位下移b(b?0)个单位y?f(x?a)?by?f(x?a)?b f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)
如：f(x)?log2?x?1?
作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的图象
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