1.3运动图象和追及相遇问题
课前自主预习学案
预习目标
1、掌握追及和相遇问题的特点 2、能熟练解决追及和相遇问题。 预习内容
一、直线运动的x-t图象 1．图象的物理意义
反映了物体做直线运动的______________变化的规律。 2．图线斜率的意义
(1)图线上某点切线的斜率大小表示物体__________________。 (2)图线上某点切线的斜率正负表示物体__________________。
3．交点
两图线交点，表示两物体__________。 4．截距
(1)纵轴截距表示__________________； (2)横轴截距表示______________。 二、直线运动的v-t图象 1．图象的物理意义
反映了做直线运动的物体的__________变化的规律。 2．图线斜率的意义
(1)图线上某点切线的斜率大小表示物体__________。 (2)图线上某点切线的斜率正负表示____________。 3．两种特殊的v-t图象
(1)若v-t图象是与横轴平行的直线，说明物体做____________。 (2)若v-t图象是一条倾斜的直线，说明物体做______________。 4．图象与坐标轴围成的“面积”的意义
(1)图象与坐标轴围成的面积表示________________。
(2)若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为_________；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为____________。
5．交点
两图线交点表示此时两质点___________。 6．截距
(1)纵轴截距表示______________； (2)横轴截距表示______________。 三、追及和相遇问题 1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在__________运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的____会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一__________，后者的速度一定不____前者的速度。 (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者__________时，两者相距__________。 3．相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇
课内合作探究学案
探究一、运动图象的理解与应用
1、 (2012·安徽理综)质量为0.1 kg的弹性球从空中某高度由静止开始下落，该下落过程对应的v-t图象如图所示。32
球与水平地面相碰后离开地面时的速度大小为碰撞前的，设球受到的空气阻力大小恒为f，取g＝10 m/s。求：
4
(1)弹性球受到的空气阻力f的大小； (2)弹性球第一次碰撞后反弹的高度h。
思路点拨：(1)由v-t图象可求得弹性球下落的加速度，根据牛顿第二定律即可求出阻力。
(2)由v-t图象知弹性球第一次到达地面时的速度，第一次反弹速度可求出，利用动力学规律可解答。 解题要点： 规律总结
(1)利用图象分析物体的运动时，关键是从图象中找出有用的信息或将题目中的信息通过图象直观地反映出来。 (2)在v-t图象中，由于位移的大小可以用图线和t坐标轴围成的面积表示，因此可以根据面积判断物体是否相遇，还可以根据面积的差判断物体间距离的变化。
(3)利用图象可以直接得出物体运动的速度、位移、加速度，甚至可以结合牛顿第二定律根据加速度来确定物体的受力情况。
探究二、追及和相遇问题的规范求解
2、A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问
2
B车加速行驶的时间是多少？
思路点拨：分析运动过程，运用位移关系和时间关系列方程，并结合运动学公式求解，分析时要注意B车的加速度为零后，B车做匀速直线运动。
解题要点： 规律总结
追及和相遇问题的规范求解 1．解题思路和方法
2．解题技巧
(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
(2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
(3)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。 探究三、追及和相遇问题的多种解法
3、在水平轨道上有两车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足的条件。
解题要点： 反思总结
解答追及相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：应用运动学公式，根据每个物体的运动情况，分别确定出各物体间的位移、时间和速度关系，并列出方程，进行求解。
(2)极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相碰；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰。 (3)图象法：将两者的v-t图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象相关物理意义求解。 我的收获： 知识： 方法：
检测达标
1．(2012·合肥一中最后1卷)一质点在水平地面上由静止开始做直线运动，已知质点速度v随位移x变化的关系如v-x图象所示。则下列说法中正确的是( )
A．质点做匀速直线运动 B．质点做匀加速直线运动 C．质点的加速度逐渐增大 D．质点的加速度逐渐减小
2．(2012·海南单科)如图，表面粗糙的楔形木块abc固定在水平地面上，ab面和bc面与地面的夹角分别为α和β，且α＞β。一初速度为v0的小物块沿斜面ab向上运动，经时间t0后到达顶点b时，速度刚好为零；然后让小物块立即从静止开始沿斜面bc下滑。在小物块从a运动到c的过程中，可能正确描述其速度大小v与时间t的关系的图象是( )
3．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v-t图象中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是( )
A．在0～10 s内两车逐渐靠近 B．在10～20 s内两车逐渐远离 C．在5～15 s内两车的位移相等 D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
4．甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前x0＝13.5 m处作了标记，并以v＝9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度L＝20 m。求：
(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a； (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
答案:预习内容
一、1.位移随时间
2．(1)速度的大小 (2)速度的方向 3．相遇
4．(1)t＝0时刻的初始位移 (2)位移为零的时刻 二、1.速度随时间
2．(1)加速度的大小 (2)加速度的方向 3．(1)匀速直线运动 (2)匀变速直线运动 4．(1)相应时间内的位移 (2)正方向 负方向
5．速度相同
6．(1)t＝0时刻的速度 (2)速度为零的时刻 三、1.同一直线上 距离
2．(1)位置 小于 (2)相等 最近 课内探究
3
1. (1)0.2 N (2) m 8
解析：(1)设弹性球第一次下落过程中的加速度大小为a1，由题图知
a1＝
Δv422
＝ m/s＝8 m/s① Δt0.5
根据牛顿第二定律，得
mg－f＝ma1②
f＝m(g－a1)＝0.2 N。③
(2)由题图知弹性球第一次到达地面时的速度大小为v1＝4 m/s，设球第一次离开地面时的速度大小为v2，则
v2＝v1＝3 m/s④
第一次离开地面后，设上升过程中球的加速度大小为a2，则mg＋f＝ma2
34
a2＝12 m/s2⑤
于是，有0－v2＝－2a2h⑥ 3
解得h＝ m。⑦
82. 6 s
解析：设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有
2
xA＝vAt0①
xB＝vBt＋at2＋(vB＋at)(t0－t)②
式中，t0＝12 s，xA、xB分别为A、B两车相遇前行驶的路程。依题意有
12
xA＝xB＋x③
式中x＝84 m，由①②③式得
t2－2t0t＋
2[?vB－vA?t0－x]
＝0
a代入题给数据vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s 解得t1＝6 s，t2＝18 s
2
t2＝18 s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为6 s。
3. v0≤6ax
解析：解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如图甲)，利用位移公式、速度公式求解。
甲
对A车有
xA＝v0t＋×(－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t
12
对B车有xB＝at，
2
12
vB＝at
对两车有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝6ax
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。 解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知
xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)×t2＝x＋at2
整理得3at－2v0t＋2x＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)－4×3a×2x＜0，即v0＜6ax时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。
解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图乙所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有
2
2
1212
乙
vA＝v＝v0－2at，
对B车有vB＝v＝at 以上两式联立解得t＝
3a经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知 11v0v0x＝v0·t＝v0·＝
223a6a所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。
检测达标
1．C 解析：v＝kx，速度随位移不断变大，A错；匀加速运动的速度v与时间t为一次函数，与位移x成二次函数，BΔvΔxΔv2
错；由v＝kx得Δv＝kΔx，即＝k，也即a＝＝kv，可见a＝kx，加速度随做单向直线运动质点的位移增大而增
ΔtΔtΔt大，C正确，D错误。
2．C 解析：由受力情况可知，小物块从a→b和从b→c的过程中，均做匀变速运动，D项错误；设小物块到达c的速度大小为vc，因克服摩擦力做功，则v0＞vc，故A项错误；小物块从a到b的过程中的平均速度v1＝，从b到c的过程
2中的平均速度v2＝，由v＝可知，小物块从a到b的时间小于从b到c的时间，故B项错误，C项正确。
2t2
v0
v0
vcs3．C 解析：由题图知乙做匀减速直线运动，初速度v乙＝10 m/s，加速度大小a乙＝0.5 m/s；甲做匀速直线运动，速度v甲＝5 m/s。当t＝10 s时v甲＝v乙，甲、乙两车距离最大，所以0～10 s内两车之间的距离越来越大；10～20 s内两车之间的距离越来越小，t＝20 s时，两车距离为零，再次相遇，故A、B、D错误；在5～15 s时间内，两图线与时间轴围成的面积相等，因而两车位移相等，故C正确。
4． (1)3 m/s (2)6.5 m
解析：设甲从离接力区13.5 m处到赶上乙所用时间为t，乙从开始起跑到被甲追上，跑的路程为x，甲、乙二人所用时间相等。
13.5＋x对甲：＝t
2
2
v12
对乙：x＝at，且v＝at＝9 m/s
2
由以上各式可解得：a＝3 m/s，t＝3 s，x＝13.5 m 完成交接棒时，乙离接力区末端的距离为
2
L－x＝(20－13.5) m＝6.5 m。
1.3运动图象和追击相遇问题 导学案及答案
