专题六数列
第十七讲 递推数列与数列求和
答案部分 2024年
1.解析（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
?a12q4?a1q4?a2a4?a5?a1?1由?，得?2，解得?．
a?4a?4a?021?q?2?3?a1q?4a1q?4a1?0因此数列{an}为“M—数列”. （2）①因为
122??，所以bn?0． Snbnbn?11122?，则b2?2. 1b2由b1?1,S1?b1，得?bnbn?1122??S?由，得n， Snbnbn?12(bn?1?bn)当n?2时，由bn?Sn?Sn?1，得bn?整理得bn?1?bn?1?2bn．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=nn?N②由①知，bk=k，k?N*.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
k?1k因为ck≤bk≤ck+1，所以q?k?q，其中k=1，2，3，…，m.
bnbn?1bn?1bn?，
2?bn?1?bn?2?bn?bn?1??*?.
当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有
lnklnk?lnq?． kk?1设f（x）=
lnx1?lnx(x?1)，则f'(x)?． 2xx
令f'(x)?0，得x=e.列表如下：
x f'(x) (1,e) + e 0 极大值 (e，+∞) – f（x） 因为
ln2ln8ln9ln3ln3???，所以f(k)max?f(3)?． 266333取q?3，当k=1，2，3，4，5时，
k?1lnkklnq，即k?qk，
经检验知q?k也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 2.解析：对于B，令x2???取a1?11，所以a2?,221所以当b?时，a10?10，故B错误；
4211?0，得??， 421,an??10，
2对于C，令x???2?0，得??2或错误!未找到引用源。， 取a1?2，所以a2?2,,an?2?10，
所以当b??2时，a10?10，故C错误；
2对于D，令x???4?0，得??1?17， 2取a1?1?171?171?17?10， ，所以a2?，错误!未找到引用源。，an?222所以当b??4时，a10?10，故D错误；
12对于A，a2?a?21?21?1，a3??a???22?2?23， 4
3?19117?a4??a4?a2??????1，
4?216216?an?1?an?0，{an}递增，
21a13当n4时，n?1?an?2?1??，
anan22?a53?a?2?4?a636a10?3?729??所以?a52，所以???，所以a10??10故A正确．故选A．
64a2??4???a103?a?2?93.解析（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由题意得
a1?2d?4,a1?3d?3a1?3d，
解得a1?0,d?2．
*从而an?2n?2,n?N．
由Sn?bn,Sn?1?bn,Sn?2?bn成等比数列得
?Sn?1?bn?解得bn?2??Sn?bn??Sn?2?bn?．
12?Sn?1?SnSn?2?． d2*所以bn?n?n,n?N．
（Ⅱ）cn?an2n?2n?1??,n?N*． 2bn2n(n?1)n(n?1)我们用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（2）假设n?kk?N*时不等式成立，即c1?c2?那么，当n?k?1时，
???ch?2k．
c1?c2??ck?ck?1?2k?k1 ?2k?(k?1)(k?2)k?1?2k?2?2k?2(k?1?k)?2k?1．
k?1?k即当n?k?1时不等式也成立． 根据（1）和（2），不等式c1?c2??cn?2n对任意n?N*成立．
2010-2024年
1．C【解析】∵an?1??an，∴?an?是等比数列
13??1?10?4?1???????3??4???31?3?10，故选C．
又a2??，∴a1?4，∴S10???131?32．D【解析】【法1】有题设知
a2?a1=1，① a3?a2=3 ② a4?a3=5 ③ a5?a4=7，a6?a5=9，
a7?a6=11，a8?a7=13，a9?a8=15，a10?a9=17，a11?a10=19，a12?a11?21，
……
a9?a11=2，a6?a8=24，∴②－①得a1?a3=2，③+②得a4?a2=8，同理可得a5?a7=2，a10?a12=40，…，
a9?a11，a10?a12，a5?a7，a2?a4，a6?a8，∴a1?a3，…，是各项均为2的常数列，…
是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{an}的前60项和为15?2?15?8?【法2】可证明：
1?16?15?14=1830. 2bn?1?a4n?1?a4n?2?a4n?3?a4n?4?a4n?3?a4n?2?a4n?2?a4n?16?bn?16
b1?a1?a2?a3?a4?10?S15?10?15?15?14?16?1830 2【法3】不妨设a1?1，得a2?2,a3?a5?a7?????1，a4?6,a6?10，所以当n为奇
数时，an?1，当n为偶数时，构成以a2为首项，以4为公差的等差数列，所以得
S60?1830
3．A【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：a1?a2?a3?a4?????a9?a10?3，故a1?a2?????a10=3?5?15．故选A. 4．6【解析】∵a1?2,an?1?2an，∴数列?an?是首项为2，公比为2的等比数列，
2(1?2n)?126，∴2n?64，∴n6． ∴Sn?1?211(n≥2)，所以数列{an}是首项为1，公差为的等229?81差数列，所以前9项和S9?9???27．
22206．【解析】由题意得：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a2?a1)?a1
115．27【解析】∵a1?1，an?an?1?n(n?1) 211112n20),Sn?2(1?)?,S10?所以?2(?．
annn?1n?1n?111?n?n?1??2?1?7．【解析】将a8?2代入an?1?121111，可求得a7?；再将a7?代入an?1?，1?an1?an221得a5?2；由此可知数列?an?是一个1?an可求得a6??1；再将a6??1代入an?1?周期数列，且周期为3，所以a1?a7?8．【解析】当n=1时，a1=S1=
1． 221a1?，解得a1=1， 33212122当n≥2时，an=Sn?Sn?1=an?－(an?1?)=an?an?1，即an=?2an?1，
333333∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an=(?2)n?1.
9．（1）?111，（2）(100?1)
3216n【解析】(1)∵Sn?(?1)an?1． 2n1
n?3时，a1＋a2＋a3＝－a3－8 ①
n?4时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－16，∴a1＋a2＋a3＝－16. ②
1
1
历年高考文科数学真题分离专题训练专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案
