多道解析几何试题所蕴含统一结论的探究
蔡玉书 王 耀
【期刊名称】中学数学月刊 【年(卷),期】2015(000)007 【总页数】3
笔者研究2015年苏州市高三数学第一学期期末统一测试试题后发现，试卷中的解析几何压轴题与2014年苏锡常镇四市调研试卷的第18题命制背景很相似，解法也大致相同．然而，通过比较还发现，两个问题蕴含着统一的结论．
1 试题再现
试题1 (苏州市2015届高三调研测试第18题)如图1，已知椭圆=1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另外一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y=x上．
(1)求直线AB的方程；(2)若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM·ON为定值．
试题2 (2014年苏锡常镇高三第一次模拟试题第18题)如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆=1(a>b>0)上不同的三点，在第三象限，线段BC的中点在直线OA上． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点C的坐标；
(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明为定值，并求出该定值．
2 推广探究
经研究，以上试题可以推广成：
定理 已知椭圆的中心为O，点A，B，C，P是椭圆上四个不同的点，且B，C两点关于直线OA对称，直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，则OM·ON=OA2．
证法1 首先证明如下引理：
引理 如图3，若点A，B，C是圆O上的三个定点，B，C两点关于直线OA对称，P是圆上的动点，直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，则有=OA2为定值．
证明 要证明，即证△ONP∽△OPM．首先有∠NOP=∠POM，以下只要说明∠OPN=∠OMP即可：设点Q为BC中点，得到，又因为在圆O中，OB=OP=r
，
则
∠PBO=∠BPO
，
且
∠BPO=∠BPC+∠OPN
，
∠PBO=∠QOB+∠OMP，由此可知∠OPN=∠OMP，即△ONP∽△OPM，则有为定值．
这一结论还可以进一步推广到椭圆中：
设平面上任意一点Q(x,y)经仿射变换T后为Q′(x′,y′)，且则进而椭圆C变换为圆O：x2+y2=a2．由于仿射变换下，图形的结合性保持不变，共线线段的长度比保持不变，因此记直线OQ交椭圆C于点A，且OM·ON=OA2． 设B(x1,y1)，C(x2,y2)，将椭圆和直线联立方程组，得到①，其中②.得到 证法2 设B(acos α,bsin α),C(acos β,bsin β),P(acos γ,bsin γ)，则线段BC的中点，则直线OA的斜率为直线OA的方程为① 直线PB的斜率为=
，直线PB的方程为②，同理直线PC方程③
将①代入②解得点M的横坐标为 .
同理可得，点N的横坐标为，于是. 点M，N的纵坐标分别为，所以 将①代入椭圆方程=1得点A的坐标满足 所以于是，
证法3 过坐标原点O作线段BC的平行线B′C′交椭圆于点B′,C′，设，我们证明.设A(x1,y1)，B′(x2,y2)，则，即，也就是，即① 设P(x0,y0)，则由得②
注意到点A，B′，P都在椭圆上，所以 ③
由①②得,即④．同理，若设，则⑤
由Q是线段BC的中点，，所以再设，下面证明由M，B，P三点共线，得，因为与不共线，于是(m-λ1)=t(λ0-λ1)，-μ1=t(μ0-μ1)，消去t得，解得.同理，由N，C，P三点共线可得,所以由④⑤得于是，
3 特例赏析
若前文定理中的直线OA与坐标轴重合时，这两种特殊情形的问题也曾出现过. 试题3 (2013年盐城摸底)如图4，直线AB与椭圆交于A，B两点，与x轴和y轴分别交于点P和点Q，点C是点B关于x轴的对称点，直线AC与x轴交于点R．
(1)若点P为(6,0)，点Q为(0,3)，点A，B恰好是线段PQ的两个三等分点．① 求椭圆的方程；② 过坐标原点O引△ABC外接圆的切线，求切线长.(2)当椭圆
多道解析几何试题所蕴含统一结论的探究
