第二章复习与思考题
1?什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？
答：若n次多项式Ij X (j =0,1,…，n)在n 1个节点x° ：：： x1 ：：：…：：：Xn
上满足条件
H k=j, Ij(Xk)=J
I . j,k = 0,1,…，n, 0, 2j,
则称这n ? 1个n次多项式∣o X ,∣1 x ,…,ln X为节点Xo,/,…,xn上的n次拉格朗日插值 基函数.
以Ik X为例，由Ik X所满足的条件以及Ik X为n次多项式，可设
Ik X =Ax-Xo
其中A为常数，利用Ik Xk =1得
X-Xk」X-Xk?1 X-Xn ，
1 =AXk-Xo X^Xkd Xk-Xk?i X^-Xn，
1
Xk —Xo
X^XkJ Xk —Xk 1
Xk —Xn
Ik(X)
X x
o
X
X
X
x
X\
x
=π
j ≡o j-k
(k -Xo 丿(^-kJL Ik —Xk* ) (k —X|
Xk _ Xj
n
对于 Ii X (i =o,1,…,n),有 V xiIi X =X k = o,1,…，n ,特别当 k = o 时，有
k
k
i=o
n ■- i i =o
I
X
= 1 ?
2.什么是牛顿基函数？它与单项式基
1,X,…,X f有何不同？
n
答：称 1,X-Xo, X-Xo X-X1,i,X-Xo^ X-Xnd f为节点 Xo,X1 ,…，Xn 上的牛顿 基函数，利用牛顿基函数，节点
xo,x1,…,Xn上的n次牛顿插值多项式 Pn X可以表示为
Pk L X =PkX ak 1 X - Xo
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X - Xk ,
Pn X i=ao a1 X — Xo 厂 亠 an X - Xo
其中ak = f 增
l
^Xn^
Xo ,X1Λ' ,Xk , k =o,1,…，n.与拉格朗日插值多项式不同， 牛顿插值基函数在
加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如
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其中ak ι是节点Xo,Xι,…，Xk.ι上的k 1阶差商，这一点要比使用单项式基 1,x,…，χ ｛方便 得多?
n
3?什么是函数的n阶均差？它有何重要性质?
答： 称 f ∣x0,x∣J = ~ -- LL 为函数 fx 关于点 x0, xk的一阶均差，
f
x
X
x
k _0
x
f x°,Xι,Xk X
丄丄也心泌］为f X的二阶均差?一般地，称
k - I
x
Xθ,Xi,…XnI=
f k ,,xn 2, Xn
LfX，X「，X」I为f X的n阶均差.
0inXn -Xnd
均差具有如下基本性质: (1) n阶均差可以表示为函数值
n
f x0 , f x1 Λ , f xn的线性组合，即 f (Xj )
Xj —Xo …Xj —Xj」Xj —Xj 1 … Xj —Xn 该性质
f Xθ, Xi,…Xndv
j=0
说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性
f X
0
, l Xnl =
x,
f X1,X2, ,Xn
I-
f l-Xθ,XiΛ' ,Xnjl
Xn _Xo
(3)若f X在a,b上存在n阶导数，且节点Xo, %,…，Xn ■ a,b 1， 则n阶均差与n阶 导数的关系为
f l-X0,XiΛ' XnL ' ，
f- la,b I
n!
4?写出n 1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？ 答：给定区间 ?,b 1上n ?1
a _ Xo叮％叮…叮Xn _ b
上的函数值y^ f Xi (i =0,1/ ,n)，则这n 1个节点上的拉格朗日插值多项式为
n
Ln x[= Yklk X ,
k =0
X -Xi
k =0,1, ,n .
其中 Ik(X)= 口 -------
UIXk 一 Xj
i V
1
n
j ^k
这n ? 1个节点上的牛顿插值多项式为
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Pn X =a° y x-x。 an X-Xo x-Xn」,
其中ak = f k,Xι,…，Xk 1, k =O,1,…,n为f X在点Xo,x1,…,xk上的k阶均差.
由插值多项式的唯一性，
LnX与Pn X是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，
牛顿插值多项式具有承袭性， 当增加节点时只需增加一项， 前面的工作依然有效， 因而牛顿 插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点 5.
= y ,其中系数矩阵 A与使用的基函数 有关.y包含的是要满足的函数值 阵A中非零元素的分布?
(1) 单项式基底；(2)拉格朗日基底；(3)牛顿基底? 答：⑴ 若使用单项式基底，则设 PnX = a0 ? a1x川…川数，利用插值条件，有
,
插值多项式的确定相当于求解线性方程组
Ax
γo,yι√ ,yn .用下列基底作多项式插值时，试描述矩
T
anxn ,其中a0,a1,…,an为待 定系
a。+aιXo + …+anxO = y。
1
a
O
■ aI xI ■ ' anxl = I
y
go +aιXn + …+anXι = Yn
n
因此，求解AX = y的系数矩阵A为
1 Xo
A =
1 X1
■八
XX
X
n o n 1
I B ■\
'1 Xn
n
为范德蒙德矩阵?
(2)若使用拉格朗日基底，则设 日插值基函数，利用插值条件，有
Ln X =a°∣o X
a1h X a.ln X '其中 IkX 为 拉格朗
」an∣n XI i= y1
a°∣o(xo y+a1∣1(xo)+…+an∣n(x° }=yo ao∣o X1 a1∣1 X1 ao∣o Xn ■ a1∣1 Xn ?…? an∣n Xn i； yn
=I
由拉格朗日插值基函数性质，求解 Ax =y的系数矩阵 A为
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Ioo A =
OI …
I B ■■
■ Λ
??■■■■
0
■■ ■ Λ
.0 0 …1 _
为单位矩阵?
(3)若使用牛顿基底, 值条件，有
a
o ■ aI O - O ι ι - XO
则设 PnX =a° ?a1 X-Xo ?…? a. x-冷…^XnJ ,由插
x
xO
严-八\an xO- xO .1 I.xO -Xn」=yo
aax
■ an xι - O !
x∣xi - Xn」-yI
a
O ' aι n - xO '
x
■ an
Xn - xO ! IXn-Xn」=Yn
故求解Ax = y的系数矩阵 A为
一1
为下三角矩阵
6. 用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数， 到高给出排序?
答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数， 格朗日基底，牛顿基底，单项式基底
7. 给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？ 答：设f P [x)在∣a,b】上连续，f (
n
a乞Xo ：：： X1 ：：：…：：：Xnzb，Ln X是满足条件Ln Xj = Yj, j = O,1,…,n的
插值多项式，则
对任何X ■ a,b 1 插值余项
1 -an Xn _XO …Xn _Xn」.1；詁
+ a1 - n X 1
XI-XO
A=
1 X^ — Xo
Xn -Xo Xn—Xo Xn 一捲 Xn 一 X。Xn 一 捲 Xn 一 XnV
试按工作量由低
则工作量由低到高分别为拉
* 3[x)在(a,b)内存在，节点
Rn X = f X - Ln X =
fn 1
^nI
(X)
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数值分析第二章复习与思考题
