2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案
（理工类）
一填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）?e2x?1?，x?0；1.函数f(x)??在（-∞，+∞）上连续，则a=2。x2??acosx?x，x?0，2.设函数y=y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0所确定，则dyx?0??dx。3732
3.由曲线y??x?x?2x与x轴所围成的图形的面积A=。124.设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则?
E
cosxsinxdx?
8。3。x2?y2?1，其周长为l，则?xy?x2?4y2ds?5．设L是顺时针方向的椭圆L4??4l二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.若lim?(x)?u0且limf(u)?A，则（D）x?x0u?u0（A）limf[?(x)]存在；x?x0x?x0（B）limf[?(x)]?Ax?x0（C）limf[?(x)]不存在；2.设f(x)?
（D）A、B、C均不正确。A）?
sinx
0
（sin(x2)dx，g(x)?x3?x4，则当x?0时，（A）f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小；（C）f(x)是比g(x)更高阶的无穷小；（B）f(x)与g(x)为等价无穷小；（D）f(x)是比g(x)更低阶的无穷小。3.设函数f(x)对任意x都满足f(x?1)?af(x)，且f'(0)?b，其中a、b均为非零常数，则f(x)在x=1处（D）（A）不可导；（B）可导，且f?(1)?a；（C）可导，且f?(1)?b；4.设f(x)为连续函数，且f(x)不恒为零，I=t（A）与s和t有关；（C）与s有关，与t无关；（D）可导，且f?(1)?ab。st0
?
f(tx)dx，其中s>0，t>0，则I的值（C）（B）与s、t及x有关；（D）与t有关，与s无关。2
?u?2u
5.设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足?0及?x?y?x2
（B）。（A）u(x，y)（B）u(x，y)（C）u(x，y)（D）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。?2u
?2?0，则?y
以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。１三、求极限lim
x?0
cosx?e
。（本题6分）2
x[2x?ln(1?2x)]
?
x22
x2x4
解：cosx?1???o(x4)；2!4!
x21?x2?x2x444
?e?1?????o(x)?1???o(x)；??22!?2?281ln(1?2x)??2x?(?2x)2?o(x2)??2x?2x2?o(x2)；2?x22
2
由此得到：lim
x?0
cosx?e
?lim2
x[2x?ln(1?2x)]x?0
?
x2
2
?x2x4?x2x44
1???o(x)??1???o(x4)?
2!4!28??
x22x?2x?2x2?o(x2)
?
??14
x?o(x4)1
。?lim124?
x?0?2x?o(x4)24
四、计算??
??1?e?0??xe?x?x2（本题6分）dx。??
??1?e?解：0
xe?x
?x2
dx??
xex
0
?1?e?x2
dx??
??
0
x????1??1?
xd?????dx?xxx001?e1?e?1?e?
??
x??
0
1
dxx
1?e
1t命：e?t，则dx?dt，于是??1?e?0??xe?x?x2dx????1???111?t??dt????dt?ln?ln2?11t(1?t)1?t?tt?1??2u?2u
五、设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，?2且u(x,2x)?x，u'1(x,2x)?x2，求2
?x?y
（本题6分）2x)。u11''(x，解：u(x,2x)?x两边对x求导，得到u'1(x,2x)?2u'2(x,2x)?1代入u'1(x,2x)?x，求得2u'1(x,2x)?x2两边对x求导，得到1?x2
，u'2(x,2x)?2
u11''(x,2x)?2u12''(x,2x)?2x，1?x2
两边对x求导，得到u'2(x,2x)?u21''(x,2x)?2u22''(x,2x)??x。2
?2u?2u以上两式与已知2?联立，又二阶导数连续，所以u12''?u21''，故?x?y2２u11''(x，2x)??
4
x。3
六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为S2?p(p?x)(p?y)(p?z)
则本题即要求在条件x+y+z=2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。设问题转化成求f(x,y)在f(x,y)?S2?p(p?x)(p?y)(x?y?p)，D??(x,y)0?x?p,0?y?p,p?x?y?2p?上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x+y>z，而由假设x+y+z=2p，即z=2p－（x+y），故有x+y>z=2p－（x+y），所以有x+y>p。由??fx'?p(p?y)(2p?2x?y)?0，?fy'?p(p?x)(2p?x?2y)?0?2p2p?
,?。因f(x,y)在有界闭区域D上连续，故f(x,y)在D上33??
有最大值。注意到f(x,y)在D的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故f(x,y)在D内取得它在D上的最大值。由于f(x,y)在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有求出f(x,y)在D内的唯一驻点M??
4
?2p2p?p
，maxf(x,y)?f?,??
(x,y)?D
?33?27
此时x=y=z=2p，即三角形为等边三角形。3七、计算I??dy?y1214y12（本题8分）edx??1dy?edx。2yyxyxyx1yyx解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到I??dy?1edx??1dy?edx??1dx?2edy??1x(e?ex)dx?22y2x21214yx1y1x131e?e。82八、计算曲面积分I?面z????x?33?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy，其中Σ为上半球?????（本题7分）a2?x2?y2的上侧。解：记S为平面z=0（x2+y2≤a2)的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域，I???S???x?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy??????????3?xS?2?0???x3?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy2??????y2?x2dxdydz??0a2??x2?y2?a22ay??dxdya?3?d??2sin?d??r4dr??asin2?d??r3dr0006129??a5??a5??a55420３九、已知a>0，x1>0，定义xn?1?
n???
?1??3xn?a?3
4?xn???
?n?1,2,3,??求证：limxn存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列?xn?的极限存在：注意到：当n≥2时，xn?1??1??xn?xn?xn?a?≥4xnxnxna?4a，因此数列?xn?有下界。3?3?4?xn?xn
又xn?11?a??≤1???3??3?4??xn4?xn?4?
a?
??1，即xn+1≤xn，所以?xn?单调递减，由极限存在准则知，数列?xn?a?
有极限。第二步：求数列?xn?的极限设：limxn?A，则有A≥4a?0。n???
由limxn?1?
n???
?1a
?lim?3xn3
4n????xn??
?，??
有A?
1?a?
，即limxn?4a。?3A?3?，解得A?4a（舍掉负根）n???4?A?
?证明：设f(x)?1?xln?x?十、证明不等式1?xlnx?1?x??1?x，x????，（本题7分）???。1?x??1?x，则2222f'(x)?lnx?1?x?2??xx?1?x1?x21?x2?x1?x?02?lnx?1?x2。??命f'(x)?0，得到驻点x=0。由1?x可知x=0为极小值点，亦即最小值点，最小值为f(0)?0，于是对任意x????，???有f(x)?0，即所证不等式成立。十一、设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且4（本题7分）在开区间（0，1）内至少存在一点?，使得f'(?)?0。证明：由积分中值定理知，存在???,1?，使得4
111
f(x)dx?43f(x)dx?f(0)?3?3
1?444
又函数f(x)在区间?0,????0,1?上连续，?0,??内可导，由罗尔定理知，至少存在一点???0,????0,1?，使得f'(?)?0。f''(x)?12?1
34
f(x)dx?f(0)，求证：?3???
f(?)?
十二、设f(x)在区间[a,??)上具有二阶导数，且f(x)?M0，0?f''(x)?M2，(a?x???)。４证明f'(x)?2M0M2。（本题8分）证明：对任意的x?[a,??)，及任意的h>0，使x+h∈(a，+∞)，于是有f(x?h)?f(x)?f'(x)h?12!f''(?)h2，其中??[h,x?h]。即f'(x)?1h
h?f(x?h)?f(x)??2f''(?)
故f'(x)?2M0h
h?2
M2，（x?[a,??)，h>0）命g(h)?2M0h?h2M2，试求其最小值。命g'(h)??2M01
M0h2?2M2?0，得到h0?2M，2g''(h)?4M0h3?0，所以，g(h)在hM0
0?2
M处得极小值，亦即最小值，2
g(h0)?2M0M2。故f'(x)?2M0M2，（x?[a,??)）。2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）
一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．lim2x2?1x??3x?1sin12x?3。2．设摆线方程为??x?t?sint则此曲线在?1??y?1?cost
t?3处的法线方程为y??3x?33。3．???dx?ex(1?ln2x)
?4。4．设z?x2?xy?y2?在点(－1,1)处沿方向l?15?2，1?的方向导数?z3?l??5。５dS
?5．设Σ为曲面x?y?R介于0≤Z≤R的部分，则?2
22??y?z?x
2
2
2
?2
2。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1
1.曲线y?e（A）1条；（C）3条；x2
x2?x?1
的渐近线有（arctan
(x?1)(x?2)
B）（B）2条；（D）4条。2(n)
2.若f?(x)?[f(x)]，则当n>2时f（A）n![f(x)]n?；2n
1
(x)?（A）12n
（B）n[f(x)]n?；（C）[f(x)]；（D）n![f(x)]。3.已知函数f(x)在（－∞，+∞）内有定义，且x0是函数f(x)的极大值点，则（C）（A）x0是f(x)驻点；（B）在（－∞，+∞）内恒有f(x)≤f(x0)；（C）－x0是－f(－x)的极小值点；（D）－x0是－f(x)的极小值点。?xy,?224.设z??x?y?0,?x2?y2?0x2?y2?0，则z=z(x,y)在点（0，0）（D）（A）连续且偏导数存在；（C）不连续且偏导数不存在；5.设I?（A）（C）?
（B）连续但不可微；（D）不连续但偏导数存在。D）xyz(e?e?e)dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0则I?（???z
???3edv；?
（B）???3e
??
x
dv；x
???(2e
?
z
?ey)dv；（D）???(2e
?ez)dv。2arctanx?ln
三、已知极限lim
x?0
xn
2111?x
??2arctanx?ln21?4x2?41?x1?x1?x1?xlim解：lim，?lim?lim??nn?1n?14n?34x?0x?0x?0x?0(1)xnxnx1?xnx?x
4
故n?3,C??。3
四、已知函数f(x)连续，g(x)?
1?x
1?x?C?0，试确定常数n和C的值。（本题6分）?
x
0
t2f(t?x)dt，求g?(x)。（本题6分）解：命u=t－x，则当t=0时，u=－x；t=x时，u=0，于是??0?x?x?x
222????g?(x)???(u?x)f(u)du?x?(?1)?uf(u)du?2x?uf(u)du?x?f(u)dux
??00??x??0?
?x?x
2????xf(?x)?2?uf(u)du?2x(?x)f(?x)(?1)?2x?f(u)du?x2f(?x)(?1)???00??
??2?uf(u)du?2x?
0?x
?x0
f(u)du
６五、设方程x?ax?b?0，⑴当常数a，b满足何种关系时，方程有唯一实根？⑵当常数a，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）解：设y?x?ax?b，－∞ 4 y??4x3?a命y??0得唯一驻点x?3?aa2 ，又y???12x?0，故当x?3?时，y有最小值。且最小值为44yx?3?a4?a??a??????a????b?4??4?4313又当x→－∞时，y→＋∞；x→＋∞时，y→＋∞，因此，⑴当且仅当?? 43 ?a??a? ??a????b?0时，方程有唯一实根。?4??4? 1 3 4313 ⑵当?? ?a??a? ??a????b?0时，方程无实根。?4??4? 1 ，试求：12 六、在曲线y=x2（x≥0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为⑴A点的坐标；⑵过切点A的切线方程；⑶该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）解：⑴设A点坐标为(x0，y0)，则y0=x02，于是可知切线方程y?x0。y―x02=2x0（x―x0）即x?2x0由题设，有223 ???x02?y?xx1112??22002?dy??????yy?xy?y???0?120??3?0?2x0?2?2x0? 1?1423134???x0?x0??x0?x0 2x0?212?3 2故有11321)。?x0即x0?1，y0?x0?1，得A(1，1212⑵切线方程为y?1?2(x?1)，即y?2x-1。1 ⑶在上述切线方程中令y=0，得到x?x1?，故所求旋转体的体积2 V???(x2)2dx???(2x?1)2dx???x4dx???1(2x?1)20x102x0x0111d(2x?1)2?1??1?????(2x?1)35?23?1???????5?6?301?2?７七、计算1 （本题7分）?(x2?1)3dx。解：解法1命In? 1 ?(x2?1)ndx，则有I1??I2??1x2x?dx??x?22x2?1x2?1???(x?1)?x?dx??2I1?2I2，于是有2?x?1?1?x??I1?。?22?x?1?1x2xx dx??x(?2)dx??4I2?4I3，同理I2??2 2222322?(x?1)(x?1)(x?1)(x?1) 所以有I3? ?11?3x3xx3?I???arctanx?C。2??22222 4?(x?1)8x?18?4(x?1) 解法2命x?tan?，则I3?? 11?31?24 ??θdθ?d??θ?θseccos2cos2cos4??d?6??4?22secθ? ?2xx?1?3112x1?3 ??????C4?θ?sin2θ?sin4θ?C??arctanx?2222??x?1?4?284x?132?(x?1)?8 ? 3x1x3 ?arctanx???C 8x2?14(x2?1)28 八、设u?f(x,y,z),?(x2,y,z)?0,y?sinx，其中f,?具有连续的一阶偏导数，且??du?0，求。（本题7分）?zdx解：将y=sinx代入u?f(x,y,z),?(x2,y,z)?0，得到u?f(x,sinx,z),?(x2,sinx,z)?0，显然方程?(x2,sinx,z)?0确定了z是x的隐含数z=z(x)，所以du???????f(x,sinx,z)?x?f1?f2cosx?f3zxdx又由?(x2,sinx,z)x???1?2x??2?cosx??3?zx??0，?? 2x?1??2cosx?du?? f3。得到?f1?f2cosx? ?dx???3 九、求f(x,y)?x?2xy?y在S?(x,y)x?y?1上的最大值与最小值。（本题7分）解：解法1在S上有x?y?1，即x?1?y，代入f(x,y)?x?2xy?y，得到因此22222 2 2 222 ?22 ?f(x,y)?g(y)?1?2y?2y3,(?1?y?1) g?(y)?2?6y2８命g?(y)?0，得到y?? 1 312243 由于g(，)?1??1? 9333 12243，又g(?1)?1，所以g(?)?1??1? 3933(x,y)?S，x?? 2 ，3 maxf(x,y)?maxg(y)?g(y?[?1,1]131 )?1?43；943。9 (x,y)?S minf(x,y)?ming(y)?g(? y?[?1,1] 22223)?1? 解法2构造F(x,y,?)?x?2xy?y??(x?y?1)，解方程组2?Fx?2x?4xy?2x??0(1)?2(2)?Fy?2x?2y?2y??0?22(3)?F??x?y?1?0(1)?y?(2)?x得到2xy?4xy2?2x3?2xy?0，即x(2y2?x2)?0，于是有x?0或x2?2y2?0联合求解(3)、(4)，得到6个可能的极值点(4)21212121,)，P4(,?)，P5(?,)，P6(?,?)，333333334343因为f(P，所以,f(P4)?f(P6)?1?1)?f(P2)?1,f(P3)?f(P5)?1? 994343 maxf(x,y)?1?，minf(x,y)?1?。(x,y)?S(x,y)?S99 P1(0,1)，P2(0,?1)，P3(十、计算I???cos(x?y)dxdy，其中区域D为：0?x? D?2 ,0?y? ?2 。（本题7分）解：如图，用直线x?y? ?2 I???cos(x?y)dxdy???cos(x?y)dxdyD1D2将区域D分为D1和D2两个区域，则??20??dx?20?x?20??xcos(x?y)dy??dx??2cos(x?y)dy2?0?0??2(1?sinx)dx??2(cosx?1)dx???2十一、证明：当0 ?e?2x。（本题7分）1?x 2x证明：本题即证当0 十二、设C是取正向的圆周(x?1)?(y?1)?1，f(x)是正的连续函数，证明：2 2 ?Cxf(y)dy? （本题8分）证明：由格林公式有y dx?2?f(x) ?Cxf(y)dy?2?y1?dx????f(y)?dxdy，?f(x)f(x)?D?其中D是由(x–1)2+(y–1)2=1所围成的区域。而??f(x)dxdy??dx?D01?1?(x?1)221?1?(x?1)f(x)dy?2?f(x)1?(x?1)2dx，02??f(y)dxdy??dy?D021?1?(y?1)221?1?(y?1)f(y)dx?2?f(y)1?(y?1)2dy，0D2即所以??f(x)dxdy???f(y)dxdy，D?C xf(y)dy? 1?1???y ()dx????f(y)?dxdy?fx?dxdy??????f(x)f(x)?f(x)?D?D? ??2d??2?。D 2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一.填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设对一切实数x和y,恒有f(x?y)?f(x)?f(y)，且知f(2)?1，则f? ?1? ???2? 12。?sinxln(1?) tdt???02 ,2．设f(x)??2xx2 e?2e?1???a,fy?(0,1,?1)?2。e???dx4．?。?0(1?x2)242 x?0;x?0, 在x=0处连续，则a=1 2。2 3．设f(x,y,z)?ezyz，其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?xyz?0所确定的隐函数，则?x2y2z2??1??5．曲线?4在点M(1,1,1)处的切线方程为44?x?2y?z?0?x?1y?1z?1 ??51?3（或１０?x?y?2z?4?0 ）。??x?2y?z?0二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．当x?0时，下列无穷小量①1?tanx?1?sinx；?41?③x???cosx?sinx；?33?D）②1?2x?31?3x；x4?x ④e?1，从低阶到高阶的排列顺序为（（A）①②③④；（C）④③②①；（B）③①②④；（D）④②①③。?x3arccotx, 2．设f(x)?? ?0, （A）1阶；x?0x?0 ，在x=0处存在最高阶导数的阶数为（（C）3阶；B）（B）2阶；（D）4阶。）3．设函数y?f(x)在x=1处有连续的导函数，又lim（A）曲线y?f(x)拐点的横坐标；（C）函数y?f(x)的极大值点；f?(x) ?2，则x=1是（Bx?1x?1 （B）函数y?f(x)的极小值点；（D）以上答案均不正确。4．设函数f，（m为常数）g在区间[a，b]上连续，且g(x)?f(x)?m，则曲线y?g(x),y?f(x),x?a 和x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为（A）(A)(C)??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx；??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx；a 2222b a b (B)(D)??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx；??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx。aab b 5．设S:x?y?z?a(z?0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有（（A）（C）C）??xds?4??xds；S S1 （B）??yds?4??xds；SS1??zds?4??xds；S S1 （D）??xyzds?4??xyzds。S S1 三、a，b，c为何值时，下式成立2xtdt1 ?c。lim b2x?0sinx?ax?1?t （本题6分）解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b=0，当b=0时使用诺必达法则得到2xtdt1x2lim?lim，22x?0sinx?ax?0x?01?t(cosx?a)1?x由上式可知：当x?0时，若a?1，则此极限存在，且其值为0；若a=1，则2xtdt1x2lim?lim??2。022x?0sinx?x?x?01?t(cosx?1)1?x综上所述，得到如下结论：a?1，b=0，c=0；或a=1，b=0，c=－2。１１??(x)?cosx,x?0?四、设函数f(x)??，其中?(x)具有连续二阶导函数，且?(0)?1。x?x?0?a,⑴确定a的值，使f(x)在点x=0处可导，并求f?(x)。⑵讨论f?(x)在点x=0处的连续性。（本题8分）解：⑴欲使f(x)在点x=0处可导，f(x)在点x=0处必须连续，于是有?(x)?cosx??(x)?sinx limf(x)?lim?lim???(0)x?0x?0x?01x 即当a???(0)时，f(x)在点x=0处连续。当x?0时，???(x)?sinx?x???(x)?cosx?；f?(x)? x2 当x=0时，???(0) f(x)?f(0)?(x)?cosx?x??(0)xf?(0)?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0xx2??(x)?sinx???(0)???(x)?cosx1?lim?lim?????(0)?1?x?0x?0222x 故：?(x)?cosx ????(x)?sinx?x???(x)?cosx?,?2 ?xf?(x)?? ?1????(0)?1?,??2 ⑵因为x?0 。x?0 x2??(x)?sinx?x????(x)?cosx????(x)?sinx???(x)?cosx???(0)?1?lim?lim?x?0x?0222x所以，f?(x)在点x=0处连续。x?0x?0limf?(x)?lim???(x)?sinx?x??(x)?cosx五、设正值函数f(x)在[1,??)上连续，求函数F(x)?点。（本题6分）解：?x1??2??2???x??ltlnn?????f(t)dt的最小值?xt??????F?(x)? x?2?d??2?x? ?xftdt??tftdtln()ln()???????1?tdx??1???x? ?21?x?2??2??21?x ???2???f(t)dt???lnx?f(x)???lnx?f(x)???2???f(t)dt x?1x?1?x?x??x??x 注意到：在[1,??)上f(x)?0，因此，当x>1时，命：F?(x)?0，得??x1f(t)dt?0。21??0，解此方程得到唯一驻点x=2。2xx又，当1?x?2时，F?(x)?0；当x>2时，F?(x)?0，所以F(x)在点x=2处取得极小值F(2)，又因为x=2是唯一的极值点，所以x=2是F(x)的最小值点，最小值为F(2)。１２六、设y?(x)?arctan(x?1)，且y(0)?0，求解：2 ? 1 0 （本题6分）y(x)dx。? y(x)dx?xy(x)??xy?(x)dx?y(1)??xarctan(x?1)2dx 0000 1 1 0 0 1 1 11 ?y(1)??(x?1)arctan(x?1)2dx??arctan(x?1)2dx ?y(1)??(x?1)arctan(x?1)2dx??y(1)?y(0)????(x?1)arctan(x?1)2dx 0 0 命x?1?t 命u?t111022 ???tarctantdt???arctantd(t)?arctanudu ?12?12?0 111u?111?121uuduu)?arctan?????ln(1???ln220021?u0842244 0 2 2 11 ??2z?2z1?z?2z?u?x?ay七、设变换?，把方程2?y2??试确定a。（本题7分）?0化为?0，2?y?u?v?x?y??v?x?2y解：计算一、二阶偏导数?z?z?z ??,?x?u?v?z?za?z11?a?z?z????????,???y?u2y?vyy?2?u?v??2z?2z?2z?2z ?2?2?2,2 ?u?v?x?u?v 32222 ?2z1?2?a?z?z?1??za?za?z1???,??y?????????2?22?2?yy??u4y?u?vy?vy??2?u?v?? ?2z?2z1?z 代入方程2?y2???0，得到2?y?x?y ?2z?2z1?z?a2??2z?2z?y2????1????2?a??0，22??2?y?4??u?u?v?x?y?a2 ?0?1? 于是有?，所以a??2。4 ?2?a?0? 八、设函数Q(x,y)在xOy平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分并且对任意的t恒有?2xydx?Q(x,y)dy与路径无关，L? (t,1) (0,0) 2xydx?Q(x,y)dy?? (1,t) (0,0) （本题7分）2xydx?Q(x,y)dy，求Q(x,y)。解：由曲线积分与路径无关知?Q? ?(2xy)?2x，?x?y 2所以Q(x,y)?x?C(y)，其中C(y)为待定函数。又? (t,1) (0,0) 2xydx?Q(x,y)dy??t2?C(y)dy?t2??C(y)dy；0 0 1 ??1 １３?(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy???1?C(y)?dy?t??C(y)dy。00tt根据题设，有t??C(y)dy?t??C(y)dy，0 0 2 1t 上式两边对t求导，得到2t?1?C(t)，于是知C(t)?2t?1，即C(y)?2y?1，故Q(x,y)?x2?2y?1。九、设函数f(x)具有二阶连续导函数，且f(0)?0,f?(0)?0,f??(0)?0。在曲线y=f(x)上任意取一xf(?) 点(x,f(x))(x?0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作?，求lim。（本题8分）x?0?f(x) 解：过点(x,f(x))的曲线y=f(x)的切线方程为：Y?f(x)?f?(x)(X?x)，注意到：由于f?(0)?0,f??(0)?0，所以当x?0时，f?(x)?0。因此，此直线在x轴上的截距为f(x)f(x) 。且lim??limx?lim??x??0。x?0x?0x?0f?(x)f?(x) 利用泰勒公式将f(x)在x0?0点处展开，得到11 。f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?1)x2?f??(?1)x2,?1在0与x之间； 2212 ?2在0与?之间。代入得类似可得：f(?)?f??(?2)?, 2 f(x)12x?xf??(?2)??f??(?2)xf(?)xf?(x)?f(x)f?(x) lim?lim2?lim?lim?lim?limx?0?f(x)x?0x?0f?x?01?(?1)x?0xx?0xxf?(x)?f??(?1)x2 2 1xf??(x)f??(x)f??(0) ?lim?lim??x?0f?(x)?xf??(x)x?0f?(x)f??(0)?f??(0)2 ?f??(x)x 十、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的ξ和η，使得ab ??a?b。f?(?)f?(?) （本题7分）由连续函数介值定理知，使得f(C)?证明：取数??(0,1)，存在C?(0,1)，上分别应用拉格朗日中值定理，有?。在区间[0,C]与[C,1]f(C)?f(0)??,0???C,C?0C显然???。f(1)?f(C)1??f?(?)??C???1.1?C1?C由于??(0,1)，所以??0,1???0，即f?(?)?0,f?(?)?0。从而ababaC(1??)?b?(1?C)b??C(a?b??a?)，??????1??f?(?)f?(?)?(1??)?(1??)C1?Cab注意到：若取??，则1???，并且?,1???(0,1)，代入得a?ba?bf?(?)?１４?a?b。ab?a?ba?b11?1?t2十一、设F(x)??(1?e)??(x?t)edt，试证明在区间[?1,1]上F(x)有且仅有两个实根。（本?12题7分）证明：x1221 F(x)??(1?e?1)??(x?t)e?tdt??(t?x)e?tdt ?1x2 xx1122221 ??(1?e?1)?x?e?tdt??te?tdt??te?tdt?x?te?tdt ?1?1xx2 0x0x2222112x1?t21 ??(1?e?1)?x?e?tdt?x?e?tdt?e?t?e?x?e?tdt?x?e?tdt ?1010?12x22 00x222213 ???e?1?e?x?x?e?tdt?x?e?tdt?2x?e?tdt ?11022 01x222213 ???e?1?e?x?x?e?tdt?x?e?tdt?2x?e?tdt ?10022 x2213 ???e?1?e?x?2x?e?tdt 022 ab??f?(?)f?(?)aba?b由于e ?x2 是偶函数，所以? x 0 e?tdt是奇函数，2x?e?tdt是偶函数，于是知F(x)为偶函数。02x2又注意到：13?1e?3?e??0;222e 1135?11??11??t2?t F(1)?????2edt????2edt???0??0???0 22e?22e??22e?F(0)? F?(x)??2xe?x2?2xe?x2?2?e0x?t2（当x>0时）。dt?2?e?tdt?0，0x2因此，函数F(x)在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又F(x)为偶函数，所以F(x)在闭区间[?1,0]上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数F(x)在闭区间[?1,1]上有且仅有两个实根。十二、设函数f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：?1xfx??yfy?f(0,0)?lim?dxdy??02???x2?y2D其中：D为圆域?2?x2?y2?1。（本题8分）证明：取极坐标系，由? ?x?rcos?，得到?y?rsin??f?f?x?f?y?f?f?????cos??sin?，?r?x?r?y?r?x?y?f?f?f ?rcos??rsin??xfx??yfy?。?r?x?y 将上式两端同乘r，得到r 于是有１５I??? D xfx??yfy?x?y 2?2 2 2?1?f2?11?f dxdy???2rrdrd???0d???dr??0f(rcos?,rsin?)d???r?rDr 2?2???0f(cos?,sin?)d???0f(?cos?,?sin?)d??0??0f(?cos?,?sin?)d????0f(?cos?,?sin?)d?由积分中值定理，有2?I??2??f(?cos?1,?sin?1)，其中0??1?2?。?1xfx??yfy?故limdxdy?lim?f(?cos?1,?sin?1)?f(0,0)。??0?2???x2?y2??0D2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设函数f(x)?ln1?x?x??1?，则函数f???f??的定义域为1?x?2。1?x?2??x?11???(cosx)x2,x?0 2．设要使函数f(x)??在区间(??,??)上连续，则a?e2。?x?0?a, ?x?f(t)??dy?3．设函数y?y(x)由参数方程?所确定，其中，则f可导，且f(0)?03tdx?y?f(e?1)4．由方程xyz??3。t?0x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=dx?2dy。1 5．设z?f(xy)?y?(x?y)，其中x yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y)。?2z f、?具有二阶连续导数，则? ?x?y 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．已知lim x?0 1?f(x)tanx?1 e?1 2x ?3，则limf(x)?(x?0 A)（A）12；（B）3；（C）1；（D）0。2．设函数f(x)在x0的一个邻域内有定义，则在x0点处存在连续函数g(x)使f(x)?f(x0)?(x?x0)g(x)是f(x)在x0点处可导的（（A）充分而非必要条件；（C）充分必要条件；C）（B）必要而非充分条件；（D）既非充分，也非必要条件。?x2,3．设f(x)???2?x,0?x?11?x?2F(x)??f(t)dt，则F(x)=（0xD）１６?x3 ,0?x?1??3 (A)?;2 ?1?2x?x,1?x?2?2?3?x3 ,0?x?1??3 (C)?;32 ?x?2x?x,1?x?2?2?3 4．函数f(x,y)?（A）可微；（C）连续，但偏导数不存在；?x3 ,0?x?1??3 (B)?;2 ?2x?x,1?x?2?2??x3 ,0?x?1??3 (D)?。2 ??7?2x?x,1?x?2?2?6 B）（B）偏导数存在，但不可微；（D）不连续且偏导数不存在。xy，在点(0,0)处f(x,y)（5．设?(x)为区间[0,1]上的正值连续函数，a与b为任意常数，区域D?(x,y)0?x,y?1，则??a?(x)?b?(y) dxdy?（?????y(x)()D （A）a；D）（C）a?b；（D）（B）b；1?a?b?。2三、设函数f(x)在点x?0的某邻域内具有二阶导数，且f(x)??3lim?1?x???e。x?0x??求：f(0)，f?(0)，f??(0)及lim?1? 1x?x?0 ? f(x)? （本题6分）?。x? 1x 1 ? f(x)? 1x 解：因为所以由无穷小比较，可知以及从而即由此可得并有四、计算解：limln?1?x??f(x)??x?0x3x?? ，e?lim?1?x???e x?0x?? 1?f(x)?limln?1?x???3。x?0xx??f(x)??limln?1?x???0，x?0x??f(x)x? x?3。lim x?0xf(x) 1?2?3??，其中lim??0，x?0x f(x)?2x2?o(x2)。f(0)?0，f?(0)?0，f??(0)?4。?2x?o(x)?f(x)??2??。l1eimlim?1???????0x?0x?x?x??? ln(1?x)?lnx （本题6分）?x(1?x)dx。1 x 22 1x １７ln(1?x)?lnx1??1ln(1)lndx??x?x?????dx?x(1?x)?1x?x??ln(1?x)lnx?ln(1?x)lnx??????dx?dx?dx???1?xx?x?1?x1lnxlnx??ln2(1?x)?ln2x?lnx?ln(1?x)??dx??dx21?x1?x12???ln(1?x)?lnx??C2五、求函数f(x)?x2ln(1?x)在x?0点处的100阶导数值。（本题6分）??解：方法一：利用莱布尼兹公式f(100)(x)?x2?ln(1?x)?又(100) ?100?ln(1?x)?(99) ?(2x)? 100?99 ?ln(1?x)?(98)?2，2 112!? ??,?ln(1?x)???,ln(1?x)'''?,23 1?x(1?x)(1?x) ?ln(1?x)?(4)??3!4,?? (1?x) (n)n?1(n?1)!由归纳法可得?ln(1?x)??(?1)。n (1?x)97!97!(98) 故?ln(1?x)?。?(?1)98?1?? (1?x)98(1?x)98 ?ln(1?x)??? 所以f(0)??990?97!。方法二：利用泰勒公式(100) 11x4x5x100 f(100)(0)??，f(100)(0)??990?97!。f(x)?x???????，故100!982398 3 六、设f(x)为定义在(??,??)上，以T>0为周期的连续函数，且（本题7分）解：对于充分大的x>0，必存在正整数n，使得? T 0 求limf(x)dx?A。? x 0 f(t)dtx x??? 。nT?x?(n?1)T。又故有?kT0f(t)dt??f(t)dt??0T2TTf(t)dt????x0kT(k?1)Tf(t)dt?k?f(t)dt?kA,0T(k?1,2,?)，nA??f(t)dt?(n?1)A，nTf(t)dt(n?1)AnA???000及。????nT(n?1)T(n?1)TxnTnA(n?1)AA 注意到：lim?lim?，n??(n?1)Tn??nTT 且当n???时，x???。由夹逼定理可知f(t)dtf(t)dtx(n?1)Tx????limx0f(t)dtx?A。T１８七、在椭球面2x?2y?z?1上求一点，使函数f(x,y,z)?x?y?z在该点沿方向l?i?j的方向导数最大。（本题8分）解：函数f(x,y,z)的方向导数的表达式为222222????f?f?f?f cos??cos??cos?? ?l?x?y?z。?11 其中：cos??,cos???,cos??0为方向l的方向余弦。因此22 ?f ?2(x?y)。?l 222 于是，按照题意，即求函数2(x?y)在条件2x?2y?z?1下的最大值。设F(x,y,z,?)?2(x?y)??(2x2?2y2?z2?1)，则由??f ??x?2?4?x?0? ??f??2?4?y?0???y? ??f?2?z?0??z? ??f?2x2?2y2?z2?1?0????1?11??11? 得z?0以及x??y??，即得驻点为M1??,?,0?与M2???,,0?。2?22??22? 因最大值必存在，故只需比较?f?f?2，??2，?lM1?lM2的大小。由此可知M1?? ?11? ,?,0?为所求。22?? 2n2n?1 ???a2n?1x?1?0至少有两个实根。八、设正整数n?1，证明方程x?a1x（本题6分）2n 证明：设f(x)?x ?a1x2n?1???a2n?1x?1，则其在区间(??,??)上连续，且f(0)??1，limf(x)???。x?? 因而，当x???时，必存在x1?0，使得f(x1)?0。由连续函数的介值定理可知，至少有一点?1?(0,x1)，使得f(?1)?0。同理，当x???时，必存在x2?0，使得f(x2)?0。由连续函数的介值定理可知，至少有一点?2?(x2,0)，使得f(?2)?0。综上可知，方程x 2n ?a1x2n?1???a2n?1x?1?0至少有两个实根。九、设x0?0,xn? n?? 2(1?xn?1) 2?xn?1 (n?1,2,?)。证明limxn存在，并求之。（本题8分）n?? 证明：证明limxn存在：注意到：对于一切的n恒有１９因此知数列?xn?有界。又xn?1 ?1，2?xn?1 2 xn?2??2，2?xn?1xn?1? ??12(xn?xn?1)2??2?1??????xn?1?xn??2??2??2???，??????2?xn??2?xn?1???2?xn?12?xn?(2?xn?1)(2?xn)2(xn?1?xn?2) xn?xn?1?，……，(2?xn?2)(2?xn?1)2(x1?x0) x2?x1?，(2?x0)(2?x1) 于是可知xn?1?xn与x1?x0同号，故当x1?x0时，数列?xn?单调递增；当x1?x0时，数列?xn?单调递减。也就是说，数列?xn?为单调有界数列，而单调有界数列必有极限。求limxn：n?? 设limxn?a，则n?? a?limxn?limn??2(1?xn?1)2(1?a)，?n??2?x2?an?1解之得a? 2，即limxn?2。n?? ??y?1?z2 十、计算曲面积分I???xzdydz?sinxdxdy，其中?是曲线? ???x?0 2(1?z?2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）解：旋转曲面的方程为x?y?z?1。补充曲面222?x2?y2?5,其法线向量与z轴正向相反；和?1:?z?2,??x2?y2?2, 其法线向量与z轴正向相同。?2:? ?z?1, 设由曲面?,?1,?2所围空间区域为?，则I???xz2dydz?sinxdxdy ? ? ???1??2 222xzdydz?sinxdxdy?xzdydz?sinxdxdy?xz??????dydz?sinxdxdy ?1 ?2 ????z2dxdydz? ?2 2 2 x2?y2?5 ??sinxdxdy? x2?y2?2 2 sinxdxdy??z???dz 1 2 x2?y2?1?z2 ??dxdy?0?0 ?z3z5?2128?????z?(1?z)dz????????3?15?115? 十一、设P(x,y),Q(x,y)具有连续的偏导数，且对以任意点(x0,y0)为圆心，以任意正数r为半径的(0????)，恒有上半圆L：x?x0?rcos?,y?y0?rsin??P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0。L２０证明：P(x,y)?0, ?Q(x,y) ?0（本题8分）?x 证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有? ?? AB P(x,y)dx?Q(x,y)dy?? AB?L P(x,y)dx?Q(x,y)dy??P(x,y)dx?Q(x,y)dy L ??Q?P? P(x,y)dx?Q(x,y)dy??????x??y??dxdyAB?L ?D? ??Q?P???Q?P??r2 二重积重积分中定理???x??y??M??dxdy????x??y??M?2 ??1D??1 其中：M1?D为某一点。另一方面? AB P(x,y)dx?Q(x,y)dy?? x0?r x0?r P(x,y0)dx积分中值定理P(?,y0)?2r(x0?r???x0?r)。于是有??Q?P??r2???x??y??M?2?P(?,y0)?2r，??1??Q?P??r?即?????x?y?M2?2P(?,y0)。??1命r?0，两边取极限，得到P(x0,y0)?0，由(x0,y0)的任意性知P(x,y)?0；且lim 类似?Q(x,y)?Q(x,y)?0，即?0。r?0M1(x0,y0)?x?x?Q(x,y)?0。?x十二、设函数f(x)在[0，1]上连续，且⑴?x0?[0,1]，使得f(x0)?4；?10f(x)dx?0,?xf(x)dx?1，试证：01（本题8分）⑵?x1?[0,1]，使得f(x1)?4。证明：⑴使用反证法，即假设当x?[0,1]时，恒有f(x)?4成立，于是有111?11? x?f(x)dx?x?f(x)dx?4x????0?2??02?02dx?1。1111，x?f(x)dx?14x??02?02dx?1。11x??02?4?f(x)?dx?0。1 1? 因此有从而有于是有f(x)?4，即f(x)??4，这显然与真。⑵仍然使用反证法。?10f(x)dx?0矛盾，故?x0?[0,1]，使得f(x0)?4为只需证?x2?[0,1]，使得f(x2)?4即可。这是显然的，因为若不然，则由f(x)在[0，1]上的连续性知，必有f(x)?4或f(x)??4成立，这与?10f(x)dx?0矛盾，再由f(x)的连续性及⑴的结果，利用介值定理即可证得?x1?[0,1]，使得f(x1)?4。２１2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．lim 4x2?x?1?x?1 2 x?sinx t??x?esin2t2．曲线?，在点(0,1)处的法线方程为2x＋y－1=0。t??y?ecostx3?11 3．设f(x)为连续函数，且?。f(t)dt?x，则f(7)? 0124．函数u?lnx?x??? ? 1。?y2?z2在点A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为?1 。25．设(a×b)·c=2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=4。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，⑴若f(x)?g(x)，则f?(x)?g?(x)；⑵若f?(x)?g?(x)，则f(x)?g(x)。则（B）（A）两个命题均正确；（B）两个命题均不正确；（C）命题⑴正确，命题⑵不正确；（D）命题⑴不正确，命题⑵正确。2．设函数f(x)连续，F(x)是f(x)的原函数，则（A）(A)当f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数；２２(B)当f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数；(C)当f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数；(D)当f(x)为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。3．设平面?位于平面?1：x?2y?z?2?0与平面?2：x?2y?z?6?0之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面?的一个方程为（D）（B）x?2y?z?8?0；（A）x?2y?z?0；（C）x?2y?z?8?0；4．设f(x,y,z)为非零的连续函数，F(t)?（A）F(t)与t为同阶无穷小；（C）F(t)与t3为同阶无穷小；（A）。（A）取得极小值；（C）在点x0的一个邻域内单调增加；2（D）x?2y?z?3?0。x2?y2?z2?t2???f(x,y,z)dxdydz，则当t→0时（C）（B）F(t)与t2为同阶无穷小；（D）F(t)是比t3高阶的无穷小。5．设函数y?y(x)满足等式y???2y??4y?0，且y(x0)?0,y?(x0)?0，则y(x)在点x0处（B）取得极大值；（D）在点x0的一个邻域内单调减少。三、求函数f(x)?e?xsinx的值域。（本题6分）解：要求f(x)?e?xsinx的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数222sinx2为偶函数，故只需考虑x≥0的情况。为计算方便，命t=x2，得到g(t)?e?tsint,t?0，显然，g(t)与f(x)有相同的值域。求g(t)的驻点：g?(t)??e?tsint?e?tcost?e?t(cost?sint)。f(x)?e命g?(t)?0，得到驻点tk? ?x2?4 ?k?(k?0,1,2,?)，其对应的函数值为??????k??4?? ??? ?k??2?????k?4? ，g(tk)?esin??k?????1?e 2?4? ?2?4 e；当k=2m+1(m=0,1,2,…)显然，当k=2m(m=0,1,2,…)时，g(t2m)?0，其中最大值为g(t0)?2 5?2?4 时，g(t2m)?0，其中最小值为g(t1)??e。于是得到函数g(t)的值域，亦即函数f(x)的值域为：2 ?5??2?42?4?????2e,2e?。?? ?x??2z?2z?y? 四、设z?f??xy,y???g?x?，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求?x2,?x?y。???? （本题6分）解：?z?1?y ?yf1?f2?2g?，yx?x ??2z1??1?1??2yy2???y????3g??4g??yf11?f12?yf21?f22?2????yy?xx??y??x2??1?2y?y??2?yf11?2f12?2f22?3g?4gyxx２３??x1?1?1y???x??????y?xf?f?f?xf?f?g?g??22122?212?2223?11?y?yyx??y?x ?1?x?xf?1g?yg???f1?2f2?yf11?322?2?3 yxxy 五、设二元函数u(x,y)在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上u(x,y)?0，并满足?u?u （本题6分）??u(x,y)，求u(x,y)的表达式。?x?y 解：显然u(x,y)?0满足题目条件。下面证明只有u(x,y)?0满足题目条件。事实上，若u(x,y)不恒等于0，则至少存在一点(x1,y1)?D，使得u(x1,y1)?0，不妨假设u(x1,y1)?0，同时，也必在D内至少存在一点(x0,y0)，使u(x0,y0)?M?0为u(x,y)在D上的最大?u?u 值。因为u(x,y)在D上可微，所以必有?0?(x0,y0)(x0,y0)，于是得到?x?y?u?u?(x0,y0)(x0,y0)?0。?x?y?u?u 然而，由题设知??u(x,y)，因此应有u(x0,y0)?0，这与u(x0,y0)?M?0的假设矛盾；?x?y 同理可证：u(x1,y1)?0的情况。因此可知在D上u(x,y)?0。六、设二元函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且?2z? ?f1??x?y ? (t,t2) (0,0) （本f(x,y)dx?xcosydy?t2，求f(x,y)。题7分）解：注意到：被积函数P(x,y)?f(x,y),Q(x,y)?xcosy，由于此积分与路径无关，所以必有?P?Q?f??cosy，即有?cosy，?y?x?y 从而有f(x,y)?siny?C(x)，代入原积分式，得到??siny?C(x)?dx?xcosydy?t(0,0)(t,t2)2，即?t0C(x)dx??tcosydy?t2，0t2?将上式两端对t求导，得到：即从而得到2 2 t0C(x)dx?tsint2?t2。C(t)?sint2?2t2cost2?2t，C(x)?2x?sinx2?2x2cosx2，f(x,y)?siny?2x?sinx2?2x2cosx2。七、设曲线y?ax(a?0,x?0)与y?1?x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y?ax围成一平面图形，试问：⑴当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？⑵最大体积为多少？（本题7分）1?x?2??ax??y?ax1?a，解得A点的坐标为?，故直线OA的方程为y?。解：当x≥0时，由?2 ?1?a?y?a?y?1?x ?1?a? 于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：２４12322??ax?2????axa2a2451?a?。V(a)???1?a????x????ax?dx???5??0??31?a50????15?1?a?2??1?a??53252a?1?a?2?a??1?a?2dV(a)2??(4a?a2)2???上式两边对a求导：(a?0)。57da15?1?a?15?1?a?21dV(a) ?0，得到a=4。由于a=4是当a?0时V(a)的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最da 大体积，故V(a)在a=4时取最大值。其最大体积为：命V(4)??2?4215?1?4?52?325?。1875x2y2 ??z2?1的上半部分，点P(x,y,z)?S，?为S在点P处的切平面，八、设S为椭球面22 zdS。（本题7分）?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离，求???(x,y,z)S解：设(X,Y,Z)为?上任意一点，则?的方程为xXyY ??zZ?1，22 从而知?(x,y,z)????x?y??z2??4?4?22?12。?x2y2? 由z?1???2?2??，有?? ?z?x?z?y，?,?2222?x?x?xy??yy????21???21???2??2?2???2?于是??z???z?dS?1???????y??d???x????224?x2?y222所以?z1Sd???4???(x,y,z)SD???xy??21????22???212?3?。4?x2?y2d???d??4?r2rdr?0402d?。???九、证明?? 2 0 cosxsinx2x?（本题8分）d?01?x2dx。1?x2 ??证明：方法一（利用积分估值定理）命I??20sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42xx??dx，dd?222??01?x1?x1?x4对上式右端的第二个积分，取变换t??2?x，则dx??dt，于是２５???sincossincossincoscost?sint???xxxxxx4244ddddtI??x???x??x??22220001?x1?x1?x??41???t???2????????11?dx?4?sinx?cosx????4?sinx?cosx???22?00?1?x????1??x????1?x22???????24??xdx??2??????1??x?????2?????2 ??? 注意到：被积函数的两个因子在区间?0,?上异号（sinx?cosx?0，4?? 由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）?42 ??x ????? 2 ??? ?1?x??1??x?? ?2 ? ? ? ，?0）命I??20sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42xx??dx，dd?222??01?x1?x1?x4??由积分中值定理，并在区间? ????? ,?上取变换t??x，同时注意到：?1??2，得2?42? ?241I?21??11?21??1??sinx?cosx?dx?1?????sinx?cosx?dx4022?1??sinx?cosx?dx?1??40?122???11?04?cost?sint?dt??1??2?1??2??04?cosx?sinx?dx?021???十、设正值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，?baf(x)dx?A，证明：?（本题8分）bbbaf(x)ef(x)dx?ba1dx?(b?a)(b?a?A)。f(x)证明：化为二重积分证明。记D?(x,y)a?x?b,a?y?b，则原式??左边??f(x)ef(x)dx?aa1f(x)f(x)f(y)f(y)dy???edxdy???edxdyf(y)f(y)f(x)DDf(x)?f(y)1?f(y)f(y)f(x)f(x)?f(x)f(y)??????e?e?dxdy???e2dxdy????1??dxdy?2D?f(x)f(y)22??DD??(b?a)2??dy?f(x)dx?(b?a)(b?a?A)aabb十一、设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得4 (b?a)2 （本题7分）证明：将函数f(x)在点x0? ???a?b?f(a)?2f?f(b)?f??(?)。???? ?2??? a?b 处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到2 ２６a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b? f(a)?f???f????a???f??(?1)?a??,其中?1??a，?；2?2!2?2??2??2????a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b? f(b)?f?,b?。??f????b???f??(?2)?b??,其中?2?? 2222!22?????????? 两式相加得到2 2 1?a?b??b?a? f(a)?2f???f(b)??f??(?1)?f??(?2)???。22!2???? f??(?1)?f??(?2) 由于f??(x)连续，由介值定理知，存在????1,?2?使得f??(?)?，从而得2 1?a?b?2 f(a)?2f???f(b)??b?a?f??(?)，4?2???4?a?b?f??(?)?f(a)?2f?f(b)即???。2?2?b?a?????十二、设函数f(x)在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，f(x)?1，且?f(0)???f?(0)??4，证明：存2 2 2 （本题8分）在一点ξ∈(-2,2)，使得f(?)?f??(?)?0。证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数f(x)应用拉格朗日中值定理f(0)?f(?2)；2f(2)?f(0) ??2?(0,2)使f?(?2)?。2 f(0)?f(?2) 注意到：f(x)?1，因此f?(?1)??1，f?(?2)?1。2 22 命：F(x)??f(x)???f?(x)?，则F(x)在区间[-2,2]上可导，且??1?(?2,0)使f?(?1)?F(?1)??f(?1)???f?(?1)??2；2 2 22 F(?2)??f(?2)???f?(?2)??2；F(0)?4。故F(x)在闭区间??1,?2?上的最大值F(?)?Max?f(x)??4，且??(?1,?2)。由弗马定理知x???1,?2?F?(?)?0。而故2 F?(x)?2f(x)f?(x)?2f?(x)f??(x)，F?(?)?2f?(?)?f(?)?f??(?)??0。2 由于F(?)??f(?)???f?(?)??4，所以f?(?)?0，从而f(?)?f??(?)?0。2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）?1?esinx,x?0,?x1．若f?x???arctan2是???,???上的连续函数，则a=?ae2x?1,x?0,?－1。２７2．函数y?x?2sinx在区间?3．2???? ?3。,??上的最大值为3?2? ??x?x?e2?2?xdx?2?6e?2。?3x2?2y2?124．由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点0,3,2处的指向外侧的单位法向?z?01量为0,2,3。5????5．设函数z?z?x,y?由方程z?y?x?xe z?y?x 1??x-1?ez?y?x?2所确定，则dz?dx?dy。z?y?x1?xe二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数f(x)可导，则当?x?0时，该函数在点x0处微分dy是?y的（A）并且f??x0??5，（A）等价无穷小；（C）高阶无穷小；（A）f(a)=0，且f??a??0；（C）f(a)=0，且f??a??0；2（B）同阶但不等价的无穷小；（D）低阶无穷小。C）（B）f(a)≠0，但f??a??0；（D）f(a)≠0，且f??a??0。2．设函数f(x)在点x=a处可导，则f?x?在点x=a处不可导的充要条件是（3．曲线y?x?x?x?1（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。??x,y??0。已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??04．设f?x,y?与??x,y?均为可微函数，且?y 下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D（A）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0；（C）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0；）（B）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0；（D）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0。B）5．设曲面Σ??x,y,z?x?y?z?k,z?0的上侧，则下述曲面积分不为零的是（2 2 2 2 ??（A）（C）2x??dydz；?（B）（D）??xdydz；? ??zdzdx；?x?0 ??ydxdy。?1x三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且lim f?x?f?x????0，f???0??4，求lim?1?。（本题6?x?0xx??分）解：由题设可推知f(0)=0，f??0??0，于是有limx?01xf?x?f??x?f???x?lim?lim??2。x?02xx?02x2xf?x?f?x?x2故?f?x??f?x?????lim?1??lim1???x?0x?0?x?x???????????x??f?x??f?x???f?x??2。e?limexp?2ln?1????x?0x?x?????２８?x?1?2t2, d2y?u?t?1?所确定，求2四、设函数y?y?x?由参数方程?。（本题6分）1?2lntex?9dxdu,?y??1 u? t dxdye1?2ln22etdye?4t，得到解：由，，所以??????dtttt2ltx2ltd1?2ln1?nd21?n2e?1d2yd?dy?1d?e1et???????????。???4t22221?2lnt4tdx2dt?dx?dxdt???21?2lnt4t1?nt???2l???dt2 而当x=9时，由x?1?2t及t>1，得t=2，故2dyee 。????2222 dxx?94t?1?2lnt?t?216?1?2ln2?五、设n为自然数，计算积分In??π20sin?2n?1?xdx。（本题7分）sinx解：注意到：对于每个固定的n，总有limsin?2n?1?x?2n?1，x?0sinx所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又于是有sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx，In?In?1???π20π?sin?2n?1?x?sin?2n?1?x12dx?2?cos2nxdx?sin2nx2?0，0sinxn0上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有In?In?1???I1。所以?sin3xcos2xsinx?sin2xcosxIn?I1??2dx??2dx??2cos2xdx?2?2cos2xdx?。0sinx0002sinx六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明????f?t?dt是连续的0 x 偶函数，但在x=0点处不可导。（本题7分）f?x?存在，设为A，则A≠0；又因f(x)为奇证明：因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点，所以lim?函数，所以limf?x???A。?x?0x?0 命：则??x?在x=0点处连续，从而??x?在???,???上处处连续，且??x?是奇函数：当x>0，则－x<0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?；当x<0，则－x>0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?,即??x?是连续的奇函数，于是?f?x??A,x?0; ? x?0;??x???0, ?f?x??A,x?0.? 即???t?dt是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又???t?dt??f?t?dt?Ax，?f?t?dt????t?dt?Ax，0x x 0x 0x0 0 x２９所以?f?t?dt是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。0 x 七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，z?fx2?y2,cos?xy?，x?rcos?,y?rsin?，证明：???z1?z?z?zcos??sin??2x?ysin?xy?。?rr???u?v （本题7分）解：设：u?x2?y2,v?cos?xy?，则?z?z?x?z?y?x??z?u?z?v??y??z?u?z?v? ?????????????????r?x?r?y?r?r??u?x?v?x??r??u?y?v?y????z?z ?2?xcos??ysin???sin?xy???ycos??xsin???u?v?z?z ?xsin??ycos????zrsin?xy???ysin??xcos??，??2r类似可得???u?v 代入原式左边，得到?z1?zcos??sin???rr? ?z?z?z ?2cos???xcos??ysin???cos???sin?xy??ycos??xsin???2?sin??xsin??ycos???u?v?u ?z?z?z?sin?xy?sin??ysin??xcos???2x?ysin?xy??v?u?v 八、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，f??0???3求：lim t?0 1πt4 x2?y2?z2?t2 ???f?（本题7分）x2?y2?z2dxdydz。?解：记G?t??的对称性，有1 πt4 x2?y2?z2?t2 ???f ?x 2 ?y2?z2dxdydz，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数?8 G?t??4 πt 于是有t ?? 20 d??sin?d??f?r?r2dr? 20 0 ?t 4?f?r?r2dr 0 t t4 limG?t??lim t?0 t?0 4?f?r?r2dr 0 t4 4f?t?t2f?t??f?0?lim?lim??f??0???3。3t?0t?0t4t 九、计算I??ydx?xdy（本题7分）?Lx?x?y，其中L为x?x?y?1正向一周。格林公式 解：因为L为x?x?y?1，故I???ydx?xdy L ? ???1???1??d??2??d?D D 其中D为L所围区域，故??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。D当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?2x?y?1?0；当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??y?1?0；３０当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?y?1?0；当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??2x?y?1?0，故D的面积为2×1=2。从而I??ydx?xdy?Lx?x?y?4。224 十、⑴证明：当x充分小时，不等式0?tanx?x?x成立。n?? n?ktan2x2tan2x?x2tanx?xtanx?xsec2x?12 证明：⑴因为lim?lim?lim?2lim?lim2?，432x?0x?0x?0x?03x3x?0xxx3x 224 又注意到当x充分小时，tanx?x，所以成立不等式0?tanx?x?x。k?1⑵设xn??tan2n1，求limxn。（本题8分）⑵由⑴知，当n充分大时有，1111 ，故?tan2??2 n?kn?k?n?k?n?k nnnn11111，?x????????n2nk?1n?kk?1n?kk?1?n?k?k?1n?k11n1 而?，于是??knk?1k?1n?k1? nn1111n1lim??lim???dx?ln2，0n??n??knk?11?xk?1n?k1?n 由夹逼定理知limxn?ln2。n?? n 十一、设常数k?ln2?1，证明：当x>0且x≠1时，?x?1?x?ln2x?2klnx?1?0。（本题8分）证明：设函数f?x??x?ln2x?2klnx?1故要证?x?1?x?ln2x?2klnx?1?0，只需证：当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0。?????x?0?，2lnx2k1???x?2lnx?2k?。xxx2x?2 。命：??x??x?2lnx?2k，则???x??1?? xx 显然：f??x??1?21 ?????2??0，所以x=2为??x?的唯，22x一极小值点，故??2??2?1?ln2??2k?2?k??ln2?1???0为??x?的最小值(x>0)，即当x>0时f??x??0，从而f?x?严格单调递增。又因f?1??0，所以当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0。当x=2时，???x??0，x=2为唯一驻点。又????x??十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R，求此半球壳对棒的引力。（本题7分）解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影Fx及Fy均为零。设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：３１Fz?k????ds??a?lz?z1a?x1?22?22?k?????x?y??2记M1?2πRμ,M2?lρ。在球坐标下计算Fz，得到2 ????z?a?l????x2?y2??z?z1?322dz1?y??z?a?212?22???ds?1??22 Fz?2?k??R??R??a?l??2R?a?l?cos?2?R2?a2?2acos?0? R2??a?l?2?R?kM1M2?R2?a2?R ????Rl?aa?l??? ?????? 1 2 sin??d?? ? 若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则2GM1M2?R2??a?l??R??Fz?Rl?a?R2?a2?R??。a?l??2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.设函数f?x??3。x ?sinx ?0 sinat ?2 ?dt，g?x??x3?x4，且当x→0时，f?x?与g?x?为等价无穷1 。ln2小，则a=2.3.设函数y?x2在x?x0点处取得极小值，则x0?????1x2dx?1?ln2。?x?1?4.5.22?x?1y?1z?2?3x?2y-2z-1?0 曲线L:?在点（1，1，2）处的切线方程为。??222 1?4?5??x?y?z-4y-2z?2?0 111xy 2?1。xddy??0?x21?y33??二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.设函数f?x?连续，则下列函数中必为偶函数的是（A）（A）?（C）?x?0t?f?t??f??t??dt；ft2dt；x0 ???t?f?t??f??t??dt；（D）??f?t??dt。（B）?0x02x３２（A）若f?x?只有一个零点，则f??x?必至少有两个零点；（B）若f??x?至少有一个零点，则f?x?必至少有两个零点；（C）若f?x?没有零点，则f??x?至少有一个零点；（D）若f??x?没有零点，则f?x?至多有一个零点。3.设函数f?x?在区间?0,???内具有二阶导数，满足f?0??0，f???x??0，又0?a?b，则当2.设函数f?x?具有一阶导数，下述结论中正确的是（D）a?x?b时恒有（B）（B）bf?x??xf?b?；（A）af?x??xf?a?；（C）xf?x??bf?b?；（D）xf?x??af?a?。4.考虑二元函数f?x,y?在点?x0,y0?处的下面四条性质：①连续；③fx??x0,y0?与fy??x0,y0?存在；②可微；④fx??x,y?与fy??x,y?连续。若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（B）（B）④?②?①；（A）②?③?①；（C）②?④?①；（D）④?③?②。5.设二元函数f?x,y?具有一阶连续偏导数，曲线L：f?x,y??1过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（C）（A）?f?x,y?ds；（C）?f?x,y?dy；?????f?x,y?dx；（D）?f??x,y?dx?f??x,y?dy。（B）????xy三、已知曲线y?f?x?与曲线y?求极限limn?f??arctanx0e?tdt在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并2?2?（本题6分）?。n???n?解：由已知，显然有f?0??0，且在点(0,0)处f??x??因此，所求切线方程为y=x。e??arctanx?21?x2,故f??0??1 ?2?f???f?0?n?2?limn?f???lim2???2f??0??2。n??n??2n??n四、证明：当x>2时，?x?2?e证明：设??x???x?2?e x?22 x?22 （本题7分）?xex?2e?2?0。?xex?2e?2, ?x??2?，???2????2?2?e???x??e x?2 2 ?2?22 ???2?e?2?2e?2??4e?2?2e?2?2e?2?0，?ex?xex。x?2?e 2 ux?22 ???x?2???f?x?。?2??x? 由拉格朗日中值定理知，存在????2,x?，使?2? 又设：f?u??e?ue，则???x??f?u３３x?2?x?2? ，?x???f????2?2? x?2x?2??2??0，故f?????0。从而，当x>2时，而f?????e?2???，又2???22 x?2 ???x???f?????0，2 即??x?单调减少，从而??x??0。命题得证。???x??f????? 五、设f?x??x2sin2x，求f?0?解：利用牛顿—莱布尼兹公式：?n??n?3?。（本题7分）?uv??n??u?n?v?Cn1u?n?1?v????Cknu?n?k?v?k????uv?n?。设u?x2,v?sin2x，注意到：u??2x,u???2,u?0?j?3?；nπ???n?v?n???sin2x??2nsin?2x??，2???n?1?π?，??n?1??2n?1sin?2x?v?n?1???sin2x??2???n?2?π?。??n?2??2n?2sin?2x?v?n?2???sin2x??2???j?nn故?xsin2x????22?n?1?π??n?n?1?2n?2?2?sin?2x??n?2?π?，nπ???n??x2sin?2x?n2xsin2x?????2?2?2?2????n?2????n?n?1?2n?2sinn??n?3?。?n?n?2于是有f?0??n?n?1?2sin222 六、设当0?x?1时，f?x??x1?x，且f?x?1??af?x?，试确定常数a的值，使f?x?在x=0??点处可导，并求此导数。（本题7分）解：首先写出f?x?在x<0附近的表达式：当?1?x?0时，0?x?1?1。由f?x?1??af?x?知，f?x??故有1112f?x?1???x?1?1??x?1???x?x?1??x?2?，aaa???1??x?x?1??x?2?,?1?x?0,f?x???a?0?x?1.?x?1?x??1?x?,显然，f?x?在点x=0处连续，且f?0??0，1 ?x?x?1??x?2??0 2 f???0??lim?a??，x?0xa x?1?x??1?x??0f???0??lim?1。x?0?x因f?x?在x=0点处可导的充要条件为：f???0??f???0?，即2 ??1,a??2，a 且f??0??1。３４七、设函数f?t?在区间???,???内连续，且满足⑴求f?t?；⑵计算I??2x?3y?10f?t?dt?4x2?9y2?12xy?2，?f?2x?3y?1??2dx?3dy?，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。?L（本题7分）解：⑴将原等式两边对x求导，得到所以f?2x?3y?1??2?2x?3y?。2f?2x?3y?1??8x?12y，命：2x?3y?1?t，于是有f?t??2?t?1?。⑵因为P?x,y??2f?2x?3y?1?,Q?x,y??3f?2x?3y?1?，所以?P?Q。?6f??2x?3y?1???y?xI?于是可知I与积分路径无关，从而?Lf?2x?3y?1??2dx?3dy??12???1,3?0,0?f?2x?3y?1??2dx?3dy?，命：2x?3y?1?t，当x=0,y=0时，t=1；x=1,y=3时，t=12。故I??1f?t?dt??1212?t?1?dt?t?2?2t?121?121。八、求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。（本题8分）解：设所求平面的截距式方程为因平面过点(a,b,c)，故有四面体体积V?xyz ???1???0,??0,??0?。ξη? abc ???1。ξη? 1???。6?abc?1 F??,?,?,??????????ξ?η???1??，6?? λa??F1 ?η???0,2??ξ6ξ? λb??F1?????0,2???6?? ? ??F?1?η?λc?0,???6?2? ?a?b?c?1?0.??ξη?a1b1c1ξη?。?ξη?,?ξη?,??ξ6λ6λ?6λξη??2?，应用拉格朗日乘数法，设命：得到显然??0，否则ξη??0，这与题意不符。代入上述第四个方程，得到从而ξ?3a,η?3b,??3c是唯一驻点，也是唯一最小值点。故所求平面为３５xyz???1。3a3b3c?九、设f?x,y??Max?x,y?,D??计算I???f?x,y?y?x2dσ。（本题7分）x,y?0?x?1,0?y?1?，DD解：将区域D分成三块：D1???x,y?0?x?1,x?y?1?D2??x,y?0?x?1,x2?y?xD3于是2???x,y?0?x?1,0?y?x????x2d??xx2I????y?yD11?x2d??2???x?yD210???x?xD322?yd?1??01dx?1x?y?yx2?dy??xdx??y?x?dy??0xdx?x20?x2?ydy?351?x1x?1x2x3x4?x5?4????????dx????x?dx??dx???0?300232?2?2??211?40十、设函数f?x,y??x?y??x,y?，其中??x,y?在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：f?x,y?在点(0,0)（本题8分）处可微的充要条件是??0,0??0。证明：充分性已知??0,0??0，欲证f?x,y?在点(0,0)处可微，只需证lim x?0y?0 x?y??x,y?x?y 22 2 ?0。?2，注意到：x?yx?y 22 ? x?yx?y 222 所以x?y??x,y?x?y又lim??x,y??0，由夹逼定理知lim x?0y?0 x?0y?0 2 ?2??x,y?。x?y??x,y?2 x?y 从而f?x,y?在点(0,0)处可微，并且df?x,y??0。?0。必要性已知f?x,y?在点(0,0)处可微，故fx??0,0?与fy??0,0?都存在。而??0,0??0。x?其中当x?0时，fx??0,0????0,0?；当x?0时，fx??0,0?????0,0?。由于fx??0,0?存在，故x?0 ?fx??0,0??lim x?0??x,0??0??0,0?????0,0?，十一、计算I????f?x,y,z??x?dydz??2f?x,y,z??y?dzdx??f?x,y,z??z?dxdy，其中f?x,y,z?为一Σ连续函数，Σ是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧。（本题7分）３６解：化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量n??cos?,cos?,cos??? ?0 13?1,?1,1?，则I?????f?x,y,z??x?cos???2f?x,y,z??y?cos???f?x,y,z??z?cos??dS Σ 其中Dxy? 故I? ??x,y?0?x?1,x?1?y?0?。Dxy ?1??x21yz?????f?x,y,z??f?x,y,z??f?x,y,z??dS?????????dS 3333??Σ?3Σ?31 ?x?y?1?x?y??1?1?1dσ???3Dxy 1。2 2??dxdy? 十二、设函数f?x?在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有（本题6分）f?1??0，则至少存在一点???0,1?，使得?1??2?arctan??f??????1。?2?证明：由积分中值定理知，存在???0,?，使???11?ef???arctan????。224???0ef?x?arctanxdx?1，2?又ef?1?arctan1??4，故若设??x??ef ?x?arctanx,x???,1???0,1?，显然??x?满足罗尔定理的各个ef???，f????arctan?? 1??2 条件，从而至少存在一点????,1???0,1?使??????0。而??????e 从而有2f????1???arctan??f??????1。2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.2.??1???f?n??????设f(0)>0，f??0??0，则lim?1。n???f?0??????1 设函数y?x?由方程sin?xy???1所确定，则曲线y?y?x?上对应于x=0点处的切线方程y?x n３７为y?2x?1。3.4.数2 2x?xcosx ??11?1?x2dx?4??。1 函数u?x?y?z在点M(1,1,1,)处，沿曲面2z?x?y在该点的外法线方向l的方向导22222 ??u ?l ? ?1,1,1?1。3x2x22 ?y2?1，5.设函数f?x,y?在区域D：?y?1上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆44则???3y?fx??x,y??dx?fy??x,y?dy??6?。C 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）nn221.设当x?0时，1?x?1?ln1?x是比ln1?x高阶的无穷小，而ln1?x是比lncosx高阶的无穷小，则n等于（B）（A）4；（B）3；（C）2；（D）1。2.设?un?是单调增的正数列，????????vn? 则数列?vn?（A）（A）当p?1时收敛；u2?u1u2?u2un?1?un ????，n?1,2,?ppp un?1u2u3 （B）当1?p?0时收敛；（D）对任意p?0均发散。D）（C）对任意p?0均收敛；3.设limx?af?x??f?a??x?a?13?1，则函数f?x?在点a处必（（A）取极大值；（C）可导；4.设函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处有（B）取极小值；（D）不可导。?f?x?a,?x0,y0??f?y则下列结论正确的是（?b，?x0,y0?D）（A）limf?x,y?存在，但f?x,y?在?x0,y0?点处不连续；（B）f?x,y?在?x0,y0?点处连续；（C）dz?adx?bdy；（D）limf?x,y0?,limf?x0,y?都存在，且相等。x?x0 y?y0 5.设S为球面：x?y?z?R?R?0?，其取外侧为Σ，则两个曲面积分全为零的是（2222x?x0y?y0C）（A）（C）??SSx2ds,??ydzdx；Σ2（B）（D）??xyds,??ydzdx；SΣ??xds,??xΣdydz；??xds,??xdydz。SΣ三、对t的不同取值，讨论函数f?x?? 1?2x 在区间[t,??)上是否有最大值或最小值，若存在最大2?x2 值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分）３８解：显然f?x?的定义域为：(-?,??)，f??x??于是有x22?x2?2x?1?2x???2?x??22?2?2?x??1?x??2?x?22，得驻点：x1??2,x2?1。???,?2?－↘－20极小值? 1?? ??2,?? 2?? ＋↗? 1 2 ?1???,1??2? ＋↗10极大值1?1,???－↘y?y＋012 又：limf?x??0,limf?x??0。x??? x??? 记：M?t?与m?t?分别表示f?x?在区间[t,??)上的最大值与最小值。从上表不难看出：①t??2时，m?t??f??2???,M?t??f?1??1；②?2?t??③? 1211?2t ,M?t??f?1??1；时，m?t??f?t?? 22?t2 1 ?t?1时，无m?t?，M?t??f?1??1；2 1?2t ④1?t时，无m?t?，M?t??f?t??。2 2?t α 四、设f?x??xsinx，其中??0，讨论函数f???x?在区间?0,??内零点的个数。（本题7分）α sinx?xcosx，f???x??????1?xα?2sinx?2?xα?1cosx?xαsinx?????1?xα?2?xαsinx?2?xα?1cosx。注意到：当x??0,π?时，sinx?0，故方程f???x??0与方程α?1x ?0cotx?? 2x2α 解：f??x???x α?1 ??同解。命：g?x??cotx? ?α?1?cosx?2xsinx???,12?cosx?xsinx???α?1?cosx1 lim??lim?2x?osinx?xcosx2x?osinx?xcosx α?1x??lim?g?x??lim??cotx??????。x??x???2x2α?由闭区间上连续函数零点定理知，g?x?在区间x??0,π?内至少有一个零点。又? 11α?112x2?sin2xα g??x???2???????0，2x22αsinx2x22α2x2sin2x 即g?x?在区间?0,π?内单调减，所以g?x?在区间?0,π?内至多有一个零点，从而函数f???x?在区间α?1x ?，x??0,π?。又：2x2α α?1x?2xcosx??α?1?sinx? lim?g?x??lim??cotx???lim?x?ox?o?2x2α?x?o?2xsinx ?0,??内有且仅有一个零点。五、过曲线y?3x?x?0?上点A作切线，使该切线与曲线y?3x及x轴所围平面图形D的面积３９S? 3。4 ⑴求点A的坐标；⑵求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分）解：⑴设A点坐标为t,3t，则切线方程为：y?3t? ??133t ?x?t?，即y? 2 x33t2 ? 23 t。3 命：y=0，得此切线与x轴的交点横坐标x0??2t，从而图形D的面积为423t?ttt3t?3t3?123tx232t?tx23333 S??2t?????t?x?dx??3?tx?x??。??32200402333446t03?3t??t?1。即A点的坐标为(1,1)。⑵平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：22 1?1?2???1? V?π???2?π????x?2??? 03?3?????3 ??3 5 ??1833?132?3x?dx?π?π??x?2??x??π?π?π。275?055??27?2 六、设函数??x??⑴求???x?；解：??x??u?tx2? sinx 0 ftx2dt，其中f?x?是连续函数，且f?0??2。??⑵讨论???x?的连续性。（本题7分）?x2sinx011fuu???dx2x2?x2sinx0f?u?du,x?0，由已知得??0??0。⑴当x?0时，有2x2sinx1 ???x???3?f?u?du?2fx2sinx?2xsinx?x2cosx x0x2x2sinx?2???3?f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx?； x0?x? 在x?0点处，由导数定义有??x????0?1x2sinx2xsinx?x2cosxfx2sinx ???0??lim?lim3?f?u?du?lim 0x?0x?0x?0xx3x2 2sinx?xcosx ?limfx2sinx?lim?f?0??2.x?0x?03x ?2x2sinx?2? f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx?,x?0;??3?0 所以???x???x?x? ?2,x?0.? ??????????????⑵因为?2x2sinx?2?? f?u?du?fx2sinx?sinx?cosx????2f?0??3f?0??2????0?，lim???x??lim??3?x?0x?0 ?x???x0 故???x?在x?0点处连续；又当x?0时，???x?连续，所以???x?处处连续。??七、设函数f?x?在闭区间?0,1?上具有连续的导数，f?1??0，且⑴求?10f2?x?dx?1。?xf?x?f??x?dx；0 1 ⑵证明? 1 0 xf 22 （本题7分）?x?dx?0?f??x??2dx?1。1 4 ４０⑴解：? 1 0 xf?x?f??x?dx? 10 1xf2 2 ?x?11121??f?x?dx??。0202 1 1 1 0 0 0 22222 ⑵证明：令??λ????xf?x??λf??x??dx??xf?x?dx?2??xf?x?f??x?dx????f??x??dx，因对任何实数λ，被积函数≥0，故?????0，所以其判别式2 111222??f???x?x?f??x?dx??xf?x?dx???f??x??dx?0，??00?0? 21111222??即?xf?x?dx???f??x??dx??xf?x?f??x?dx?。??00?0?4?2z?2z?2z 八、设二元函数z?z?x,y?具有二阶连续偏导数，证明：2?2?2?0可经过变量替换?x?x?y?y ?2w（本题6分）u?x?y,v?x?y,w?xy?z化为等式22?1?0。?uu2?v2u?vu?v?u?vu?v?证明：由题意可解得x?，从而w?,y??z?,?。22422???w1?z1?z11??z?z??u??????u????，?u2?x2?y22??x?y?? ?2w1??2z1?2z1?2z1?2z1?1?1??2z?2z?2z????1?2??????2????1???2?2??，22?????u2??x2?x?y2?y?x2?y2?2?2??x?x?y?y???2w1?2w故?，即22?1?0。2 ?u?u2 x2y2z2九、求λ的值，使两曲面：xyz?λ与2?2?2?1在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面abc的公共切平面方程。（本题8分）解：曲面xyz?λ在点?x,y,z?处切平面的法向量为n1??yz,zx,xy?。x2y2z2?xyz? 曲面2?2?2?1在点?x,y,z?处切平面的法向量为n2??2,2,2?。abc?abc? xyz令 欲使两曲面在点?x,y,z?处相切，必须n1//n2，即2???t。ayzb2zxc2xy x2y2z2 由x?0,y?0,z?0，得2?2?2?3t，即3?t?1。a?b?c?abcabcx2y2z21 。于是有2?2?2?，解得x?,y?,z?;λ? abc333333 bc?a?ac?b?ab?c?xyz 公共切平面方程为?x????y????z???0，化简得???3。3?abc3?3?3?3?3? 十、计算三重积分I?????xΩ22 其中Ω是由yoz平面内z=0，z=2以及曲线y??z?1??1所?y2dv，2 ?围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。（本题7分）解：由题设知，区域Ω是由旋转面x?y??z?1??1与平面z=0，z=2所围成。用与z轴垂直的2 2 2 平面截立体Ω，设截面为Dz，于是４１I??dz??x2?y2dxdy。0 Dz 2 ??显然Dz是圆域，圆心为?0,0,z??0?z?2?，半径为r?所以I?2x2?y2?1??z?1?。2128?π22224??????11d1211d。?z?z??z??z?z??000?040215?x?y?dx??x?y?dy，十一、其中曲线C：y???x?是从点A(－1,0)到点B(1,0)计算曲线积分I??22x?yC dz?d??2?1??z-1?2r3dr?2??2????的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分）x?y?Px2?y2?2xyx?y?Qx2?y2?2xy ，Q?x,y???2。解：P?x,y??2,?,?2222222x?y2?yx?y?xx?yx?y 222 作上半圆C1：x?y?r，y?0，逆时针方向，取r充分小使C1位与曲线C的下部且二者不相交。????又在x轴上分别取1到r与－r到－1两个线段l1与l2，于是有I?? 域。C1?l1?l2 ?x?y?dx??x?y?dy? 22x?y ??Q?P???x??y??dxdy?0，其中D是由C?C1?l1?l2所围成的区??? ?D? 从而，I??? π C1?l1?l2 ?x?y?dx??x?y?dy??? x2?y2?x?y?dx??x?y?dy ??C??l??l?? 12?1?x2?y2 rdx?1dx??r2?cos??sin??sin??r2?cos??sin??cos????????ddt?lnr?lnr??2????r010rxx 11?x2?1?2十二、求证1?e?。（本题6分）edx?1?e??0证明：记I?注意到：e 21111?x22?y2?x2??x2?y2?????，则edxI?edyedx?dyedx。?????-1??-1???-1??-1??11?x2?y2 ???0，故I2? 2x2?y2?2 ??x e?? 2 ?y2 ?dxdy? 2? 2?0 d??re?rdr??1?e?2；0 2 2 ??同理：I?开方得：x2?y2?1??xe???y2?dxdy??2?0d??re?rdr??1?e?1?0，01????1?e?1?I???1?e?2，即1?e?1?1??10e?xdx?1?e?2。22009年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.2.3.4.1 n ??1??2?4?n??lim??1???1?????1????。n??nnne???????? ?n?4设f?x??xx，则使f?0?存在的最大n=4。?π0cosx?1?cos2xdx?0。2。设a??3,5,?2?，b??2,1,4?，若λa?b与OZ轴垂直，则λ=４２5.设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，则22?Lxdy?2ydx?3π 。2二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.函数f?x??（A）0；x的第一类间断点的个数为（ln1?x（B）1；C）。（D）3。（C）2；x 2.设f?x?与g?x?具有任意阶导数，且f???x??f??x?g?x??xf?x??e?1，f?0??1，f??0??0，则（A）。（A）f?0?为函数f?x?的极小值；（B）f?0?为函数f?x?的极大值；（C）点（0,1）为曲线y?f?x?的拐点；（D）极值与拐点由g?x?确定。x?x0x?x03.设函数f?x??u?x??v?x?，g?x??u?x??v?x?，又limu?x?与limv?x?都不存在，则下列结论正确的是（D）。（A）若limf?x?不存在，则limg?x?必不存在；（B）若limf?x?不存在，则limg?x?必存在；（C）若limf?x?存在，则limg?x?必存在；x?x0x?x0x?x0x?x0（D）若limf?x?存在，则limg?x?必不存在。x?x0x?x0x?x0x?x04.设F?x,y?具有2阶连续偏导数，F?x0,y0??0，Fx??x0,y0??0，Fy??x0,y0??0。若y?y?x?是由方程F?x,y??0所确定的在点?x0,y0?附近的隐函数，则x0是y?y?x?的极小值点的一个充分条件为（B）??x0,y0??0；（A）Fx?x （C）Fy??y?x0,y0??0；??x0,y0??0；（B）Fx?x ??x0,y0??0。（D）Fy?y C）。（D）1。5.设L为折线x?x?y?1的正向一周，则（A）－2sin2；三、设函数（B）－1；?Lx2y2dx?cos?x?y?dy?（（C）0；⑴a为何值时，f?x?在x=0点处连续；??ln1?ax3?，x?0?xarcsinx??f?x???6，x?0?ax?2??xax1?e，x?0x?xsin?4???（本题7分）⑵a为何值时，x=0为f?x?的可去间断点。解：因为ax3ln1?ax3 limf?x??lim?lim?limx?0?x?0?x?arcsinxx?0?x?arcsinxx?0? 3ax21?x2?1 2 2 ??1? 3ax2 11?x2 ?lim? x?0 ?1?x?1??1?x?1?????6a ４３eax?x2?ax?1eax?x2?ax?1aeax?2x?alimf?x??lim?4lim?4limx?0?x?0?x?0?x?0?x2xx2xsin42ax2e22?2lima??a?4?2im????fx?lfx?6a?2a?4，解得a??1,a??2。命：lim，即??x?0??当a??1时，limf?x??6?f?0?，故f?x?在x=0点处连续。x?0 x?0x?0当a??2时，limf?x??12?f?0??6，故x=0为f?x?的可去间断点。x?0四、设f?x??nx?1?x?（n为正整数），n⑴求f?x?在闭区间[0,1]上的最大值M（n）；（本题7分）⑵求limM?n?。n??解：⑴命f??x??n?1?x??nx?1?x?n?n?1??n?1?x?n?1?1?x?nx??0，得x1? 1 ，x2?1。1?n 当0?x? 1 时，f??x??0；1?n 1?x?1时，f??x??0，1?n1n?1??1? 故x1?为f?x?的极大值点，f????1??为对应的极大值。1?n1?n1?n1?n???? n?1??1?又f?0??f?1??0，故f??1??。?即为f?x?在闭区间[0,1]上的最大值：M?n?? 1?n1?n1?n????1??1??1??e?1。⑵limM?n??lim?1????n??n???1?n??1?n?πsin2x4五、计算I??π（本题6分）dx。?1?e-x4π2t??xπsin2x0sinxsin2xsin2x4dx，其中?πdx，故解：I??πdx??dx??4 -x-x-x?01?e?01?ex??1e1e44 0 ππ-xx 11?1?e?1?e?124sinx4sin2xdx??π?2?。I??sinx??dx?dx?x-x?x-x??0081?e?1?e1?e?1?e 六、设对任意x，都有f?x??F?x?，且F?x?在x=0点处连续，F?0??0，证明：f?x?在x=02 π40 nn n ????点处也连续。（本题6分）证明：首先，由0?f?0??F?0??0，知f?0??0，从而f?0??0。又由f?x??F?x?，知?F?x??f?x??F?x?。又F?x?在x=0点处连续，F?0??0，知limF?x??0，lim??F?x???0，于是有limf?x??0。即limf?x??0?f?0?。所以，f?x?在x=x?0x?0x?0x?0 0点处也连续。七、设f?x,y??max?x,y?，D?7分）??x,y?0?x?1,0?y?1?，计算I???f?x,y?y?xD2（本题dxdy。解：用曲线y?x,y?x将区域D分成三部分2４４D1???x,y?0?x?y?1?, D2??x,y?x2?y?x?1,D3 则D1 2 ??x,y?0?y?x????D2 ??1?。 ??D3 x2 I???yy?x2dxdy???xy?x2dxdy???xx2?ydxdy??dx?y?yxdy??dx?2xy?xdy??dx? 0 x 0 x 0 11 1 ???22 ?1x ?3 ?1 0 ?x 3 ?xydy ?11?1x2x3x45?????????xdx??0?340262?? x2y2z2 八、在椭球面2?2?2?1上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。（本题7分）abc x2y2z2 解：设F?x,y,z??2?2?2?1，切点为（x0,y0,z0），故该点处切平面的法向量为abc 2x2y2zFx??20，Fy??20，Fz??20。abc 2x2y2z 切平面方程为20?x?x0??20?y?y0??20?z?z0??0，即abc xyz ?b2?c2?1。a2 x0 y0 z0 a2b2c2a2b2c2 依题意，有截距。???k?k?0?，即x0?,y0?,z0? x0y0z0kkk?a2??b2??c2?????k???k???k??a2b2c2??????由于切点在椭球面上，故有???1，即2?2?2?1，a2b2c2kkk 从而解得k?于是有x0? 222a2?b2?c2，a2 ,y0? 222a?b?c b2a?b?c 2 2 2 ,z0? c2a?b?c 2 2 2 。切平面方程为x?y?z?a2?b2?c2。九、设f?t?为连续函数，求证??f?x?y?dxdy??f?t??A?t?dt，其中D ?A A ??AA D???x,y?x?,y?,A为正常数?。22?? （本题7分）证明：４５??f?x?y?dxdy??DA2A?2dx?0-AA2A?2f?x-y?dy?t?A2A2命x?y?t?A2A?2dx?A2Ax?2x??f?t?dt??dx?0-AA2A?2A2Ax?2x?f?t?dt??f?t?dt?A0?dx??f?t?dt?00-AAA2t?A2dxA??f?t??t?A?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A?t?dt??f?t??A?t?dt0??f?t??A?t?dt。-AA十、设函数f?x?在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且f?a??0，f?b??0，（本题7分）在一点ξ∈（a,b）使得f??????0。证明：因为f?x?在闭区间[a,b]上连续，且f?a??0，f?b??0，以及∈（a,b），f?????0。对于x∈[a,b]，有泰勒公式f?x??f?η?? ba?f?x?dx?0。证明：存ab内至少存在一个小区间使得f?x?在其内为正，从而知f?x?在闭区间[a,b]上的最大值为正，且最大值点η?f?x?dx?0，故在开区间（a,b）12 f???ξ??x?η?，其中ξ位于x与η之间。命x=a，则2 12f?a??f?η??f???ξ??a?η?，22因其中?a?η??0，f?a??f?η??0，故f??????0。十一、设二元函数u?x,y?具有二阶偏导数，且u?x,y??0，证明u?x,y??f?x?g?y?的充要条件为：?2u?u?u。u???x?y?x?y（本题8分）证明：必要性?u?u?2u?f??x?g?y?，?f?x?g??y?，?f??x?g??y?，显然有若u?x,y??f?x?g?y?，则?x?y?x?y?2u?u?u。u???x?y?x?y充分性?2u?u?u?u??u??u?u ??若u，则u??0，由于u?x,y??0，所以????x?y?x?y?y??x??x?y ?u??u?u??u?u?u?????????y?x?x?y????x???0，2 ?y?u?u???? ?lnu?lnu???lnu? ???x?。从而有即不含y，故可设???0，因此?x?x?y??x? u?e???x?dx?ψ?y??e???x?dx?eψ?y?，lnu????x?dx?ψ?y?，即u?x,y??f?x?g?y?。４６十二、计算曲面积分I???Σxdydz?ydzdx?zdxdyΩ??x,y,z?x?2,y?2,z?2边界曲面的外侧。（本题8分）解：命P????xy2?y2?z322?，其中Σ为空间区域x?x2?y2?z2 322?，Q?2 2 ?x22 ?y2?z322?，R?z?x22?y2?z322?。作辅助曲面Σ1为球面x?y?z?ε的外则，其中0<ε<1。则I?其中Σ?Σ1??xdydz?ydzdx?zdxdy?x?x 2?y2?z322????Σ1xdydz?ydzdx?zdxdy?x?y2?z322?，Σ?Σ1 ??xdydz?ydzdx?zdxdy 2 ???? ?1 3x2?y2?z2?3x2?3y2?3z2 ??y?z 2 322 ????P?Q?R????????x??y??z??dxdydz ?Ω1? 5 22 ?x?x 2 2 2 ?y2?z ?dxdydz?0 （Ω1为Σ与Σ1之间的空间区域）。所以?y?z 114 ?3??3dxdydz?3?3?πε3?4π。 3εΣ1ε Σ1 I??? xdydz?ydzdx?zdxdy 322 ?? 1 dd?ydzdx?zdxdy3??xyzεΣ1 2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.2.3.4.角为1115 ，则limxn?。???? n??231?2???n2π4sinx 已知f?x?的一个原函数为，则?πxf??x?dx??1。x?2??dx?exln2x?1。设xn?1? 设a，b为非零向量，且满足（a+3b）⊥（7a–5b），（a–4b）⊥（7a–2b），则a与b的夹。根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量C1?t?的估计公式为（单位：十亿桶/年）：?35.C1?t???0.00137t2?0.0781t?6.90,?15?t?15，?15?t?15，４７式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为：C2?t???0.00137t2?0.0721t?6.87, 则自1995年至2015年共节省原油12亿桶。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）?1?cosx,?1.设函数f?x???x??xg?x?,（A）极限不存在；（C）连续但不可导；x?0,x?0.其中g?x?是有界函数，则f?x?在x?0点处（（B）极限存在，但不连续；（D）可导。C）。2.设曲线的极坐标方程为r?1?cos?，则在其上对应于??（A）。（A）x?1?0；（C）x?y?0；3.设函数f?x?连续，则（A）x 2?点处的切线的直角坐标方程为3 （B）y?1?0；（D）x?y?0。dx322tfx?tdt?（?0dx??D）。3 ? 3 x2 0 f?u?du?x3fx2；??（B）xf?0?；（D）x（C）xfx4.设??；2 ?x20f?u?du。C）。axdx?bdy ?y （B）a?1,b??1；（A）a??1,b?1；（C）a??2,b??1；（D）a??2,b?1。??x2y2z25.设曲面Σ???x,y,z??2?2?1,z?0?，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：123??（B）。2x??dydz；Σ?x 2 ?2 为一函数的全微分，则下面正确的答案为（（A）（C）（B）（D）??xdydz；Σ??zdxdz；Σ??ydxdy。Σ 1??3?n?n26三、计算lim??n?n??e?1?n?。（本题7分）n??2????1??3?1x?x?2解：先求lim??x?x??e?1?x6?。令t?，当x???时，t?0，则x???x2???? 12?t?1?t?t?e?1?t6?1???x?2??lim??x3?x2??ex?1?x6??lim?x???2?t3???t?01t3t312t3t5e?te?62211?t61?tlim。?lim??t?0?t?0?363t2从而1??3?1n?n26lim??n?n??e?1?n??。n??2????6４８四、设f?x??arctan解：f??x???1?x?5?，求f?0?。（本题6分）1?x 12 ，即1?xf??x???1。（※）21?x??等式（※）两边再对x求2阶导数得：2 令x?0，得f????0??2。令x?0，得f ?5??1?x?f????x??4xf???x??2f??x??0，?2 等式（※）两边对x求4阶导数得：1?x 3 ?f???x??8xf???x??12f????x??0，5 4 2 ?0???12f????0???24。2 五、对k的不同取值，分别讨论方程x?3kx?1?0在区间?0,???内根的个数。（本题7分）⑴当k?0时，f??x??0，即f?x?在[0,??)上单调增加，又f?0??1，故原方程在区间?0,???内无根；⑵当k?0时：0?x?2k，f??x??0，f?x?单调减少；解：设f?x??x?3kx?1，0?x???，f??x??3x?x?2k?，3 2k?x，f??x??0，f?x?单调增加。3所以x?2k是f?x?的极小值点，极小值f?2k??1?4k。于是，当1?4k?0，即0?k?当1?4k?0，即k? 3332时，原方程在区间?0,???内无根；22时，原方程在区间?0,???内有唯一的根；2323当1?4k?0，即k?时，原方程在区间?0,???内有两个根。2 六、设a，b均为常数且a??2，a?0，问a，b为何值时，有2???2x?bx?a1??1?dx??ln1?x2dx。（本题7分）?1?0??x2xa???3??解：??10ln1?x2dx??ln?1?x?dx??ln?1?x?dx00?111111??1?x?ln?1?x??x??1?x?ln?1?x??x?2?ln2?1?；0000???b?a?x?a???1?2x2?bx?a?2?b?a??1d?d??xx??dx??1???112x?a?x?2x?a??x?x?2x?a??Bx?limln，1B???1??b?a?1?2x?a?2??因为极限存在，故必有b?a?0，即b?a。所以有?由题意得??1?2x2?bx?a?112?a。ln?1dx?ln??ln????2x2x?a2?a2??2?ln2?1??ln2?a，2即b?a?8e ?2 ?2。４９七、设a1??12，an?1?证明：因为an?1?an?（本题8分）an?12,n?1,2,3,?，证明：liman存在并求其值。n??an?12?an?1?12?an?an?1an?12?an?1?12，所以an?1?an与an?an?1的符号相同，且类似可得与a2?a1同号。而a2?a1?于是1234a1?12?a1?a1?12?a12a1?12?a1???a1?4??a1?3?a1?12?a1，当a1?0时，有a2?a1，即数列?an?单调增加；当a1?4时，有a2?a1，数列?an?单调减少；当a1?4时，an?4,n?1,2,3,?。当0?a1?4时，也有a2?a1，数列?an?单调增加；又an?1?4?an?12?4? an?4an?12?4 ，即an?1?4与a1?4同号。调增加且有上界，?an?收敛。敛。所以，当a1?0时，或0?a1?4时，an?4,n?1,2,3,?，即数列?an?有上界，此时数列?an?单当a1?4时，an?4,n?1,2,3,?，数列?an?有下界，此时数列?an?单调减少且有下界，?an?收当a1?4时，an?4,n?1,2,3,?，常数数列?an?显然收敛。综上所述，liman存在，设其值为A，故n??A?liman?1?liman?12? n?? 2n?? A?12，。有A?A?12?0，?A?4??A?3??0，得A=4（A=－3舍去，因an?0,n?2,3,?）八、设f?x?是区间?a,a?2?上的函数，且f?x??1，f???x??1，证明：f??x??2，x??a,a?2?。（本题7分）证明：对x??a,a?2?，f的泰勒公式为：f?t??f?x??f??x???t?x??当t?a?2,a时，分别有12f???????t?x?，???a,a?2?。2!f?a?2??f?x??f??x??a?2?x??f?a??f?x??f??x??a?x?? 两式相减得12 f????1??a?2?x?，ξ1??x,a?2?；2 12 f????1??a?x?，ξ2??a,x?。2 1122f????1??a?2?x??f????2??a?x?，22f?a?2??f?a??2f??x??故５０f??x????11122f?a?2??f?a??f????1??a?2?x??f????2??a?x?2221?1122???????????????????fa?2?fa?fa?2?x?fa?x12?2?22??1?11122?2??????2?a?2?x?a?x?2?2?a?x?2?a?x???2?22?2?2??a?x??a?2?x?而?a?x??a?2?x??0，故f??x??2，x??a,a?2?。（附：若取f?x????f??x??2）。1?x?a?2?1，x??a,a?2?，则f??x??x?a，f???x??1。显然f?x??1，2?2z?2z九、设z?z?x,y?是由z?e?xy所确定的二元函数，求：2，。（本题6分）?x?y?x解：将等式z?ez?xy两边分别对x，y求偏导数：?z?z?zy 。?ez?y，?z ?x?x?x1?e?z?z?zx。?ez?x，??y?y?y1?ezz?z?ye ?2z?y2ez?x。?? z2z3?x21?e1?e zz?z1eey??1?2z?xyez?y。???zz2z31e?x?y?1?e1?ez ????????十、求题7分）?L?x?1??y2?1位于上半平面，从点??2,0?到?4,0?的部分。ydx?xdy，其中曲线L是（本229x?y2?Px2?y2?QyxQ????解：P?x,y??2，，，即积分与路径无关。??x,y222222?y?x??xyxyx?y 但因在点?0,0?处P?x,y?与Q?x,y?无定义，故应选积分路径：从??2,0?到??2,1?再到?4,1?最后到???4,0?的折线段。于是12dy40-4dyydx?xdydx????Lx2?y2?04?y2??2x2?1?116?y2 11 ?arctan?arctan4?arctan??2??arctan??。 42 xyz2dxdy?xy2dydz，其中Σ为由曲面z?x2?y2与z?1所围成的封闭曲面的十一、计算I???Σ外侧。（本题7分）解：对右端的第一个积分使用高斯公式５１I1???xyz2dxdy????xy?2zdxdydz?8???xyzdxdydz Σ Ω Ω1 11 ?????8?2d??rcos?sin?dr?2zdz?4?2d??r31?r4cos?sin?dr?。 00r004用柱坐标 1 3 1 ????其中Ω是Σ所围的空间区域，Ω1是Ω位于第1卦限的部分。对于右端的第二个积分I2???xy2zdydz???xy2zdydz???xy2zdydz，Σ Σ1 其中Σ1是平面z?1上x?y?1的部分上侧，显然22 ??Σ1 2 Σ2是z?x2?y2?z?1?的外侧，xyzdydz?0。Σ2 ??Σ2??z?xy2zdydz???xy2z???dxdy????xy2x2?y2?-2x?dxdy?0，??x?Σ2x2?y2?1??所以I?11?0?。4422 十二、在曲面z?4?x?y上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面（本题8分）?1所围空间区域的体积最小。2 2 2?x?1?2?y2解：因为V?V1?V2，其中V1和V2分别是以曲面z?4?x?y和P点处的切平面为顶，以z?0为底，以圆柱面?x?1??y2?1为侧面的区域的体积，且V1是常数，所以求V的最小值可转化为求V2的最大值。设点P的坐标为??,?,??，则曲面在该点处的法向量为?2?,2?,?1?，切平面方程为2ξ?x?ξ??2η?y?η???z?ζ??0 22又??4????，故切平面方程为z?2ξx?2ηy?4?ξ2?η2。于是D D V2???zdxdy???2ξx?2ηy?4?ξ2?η2dxdy??4??2??2?2???ξx?ηy?dxdy 其中D??x,y??x?1??y?1。2 2 ??????D 利用极坐标计算???ξx?ηy?dxdy??Dπ2π?2d??32cos?0?ξcos??ηsin??r2dr3?8???????。4?223??即V2?ξ,η??π4?2ξ?ξ?η 由2 ?π2π?2?ξcos??ηsin??8cos3?d??2?2 ?。??V2??ξ?π?2?2ξ??0,????V2??2πη?0,???y解得唯一驻点为??1，??0。对应的V2?1,0??5π。５２又当??,??为区域D边界上的点时，有???1?2??2?1，即?2?2???2?0，所以V2恒为常数4?。可知V2?ξ,η?只在区域D的内部取到最大值。而点（1,0）是D内的唯一驻点，故V2在此唯一驻点处的值5?是最大值。此时切点P的坐标?1,0,5?为所求。切平面方程为2x?z?3?0，最小体积为π2π?2V???4?x?ydxdy?5π??d?? D?22?2cos?0r3d???? 3?????。22 2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类) 二.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设f(x)是连续函数,且lim1x(x)?f?f(x)1??4,则lim???x?0x?01?cosxx??则e2.2x2?3 2.设f(x)??ax?b,若limf(x)?0, x??x?2 ?x?13.?e??lnx?dx?exlnx?C. ?x? 4.设f(x,y)是连续函数,且f(x,y)?xy?围成,则f(x,y)?a??2,b??4.?? Df(x,y)dxdy,其中D由x轴、y轴以及直线x?y?1xy?1 .12x?y?2z?11?0225.椭球面x?2y2?z2?1平行于平面x?y?2z?0的切平面方程为和x?y?2z?11?0.2三.选择题（本题15分，每小题3分）:1.设f(x)?(2?x)ln(1?x),则f(x)在x?0处(A)f?(0)??2,答:(A)(A)(B)f?(0)?0,(C)f?(0)?2,(D)不可导.s 2.设函数y?f(x)具有二阶导数,且满足方程y???y??einx ?0.已知f?(x0)?0,则(D)f(x)在x0处取得极大值.f(x)在x0的某个邻域中单调增加,(C)(B)f(x)在x0的某个邻域中单调增少,f(x)在x0处取得极小值,?答:(C)3.图中曲线段的方程为y?f(x),函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数,则积分ayAxf?(x)dx表示0Cy?f(x)(A)直角三角形AOB的面积,(B)直角三角形AOC的面积,(C)曲边三角形AOB的面积,(D)曲边三角形AOC的面积.答:(D)xOB(a,0)4.设在区间[a,b]上的函数f(x)?0,且f?(x)?0,f??(x)?0.令S1??f(x)dx, ab５３S2?f(b)(b?a), (A)S1?S2?S3,答:(C)5.分(A)(C)答:1 S3?[f(a)?f(b)](b?a),则2(B)(C)S3?S1?S2,2 S2?S1?S3,(D)S2?S3?S1.设曲面??{(x,y,z)|z?x?y2,0?z?1},取上侧为正,?1是?在x?0的部分,则曲面积????(B)?xdydz?0,y2dydz?2??y2dydz,?1(B)(D)???zdxdy?2??zdxdy.?1?1????x2dydz?2??x2dydz,四.(6分)t?x???0[(t1)?0?(u)du]dt ,设函数f?x???2sinx ??0, x0 2x?0,x?0. 其中函数?处处连续.讨论f(x)在x?0处的连续性及可导性.解?limf(x)?lim x?0 x?0 [(t?1)??(u)du]dt 0 t2x2 x??(u)du 0 ?lim x?0 (x?1)? x20 ?(u)du 2x x2?lim x?0 x?02x2x 2x??(x2) ?0?lim?0?f(0) x?02 ??lim x20 ?(u)du 因此,f(x)在x?0处连续.[(t?1)??(u)du]dt?f(x)?f(0)00?limlim x?0x?0xx3 x2x t2?lim x?0 (x?1)??(u)du 0 x23x2 x2x??(u)du1?(u)du?100 ?lim?lim2?x03x3x?0x2 因此,1???(0)31f(x)在x?0处可导,且f?(0)???(0).32 五.(6分)设函数x?x(t)由方程tcosx?x?0确定,又函数y?y(x)由方程ey??xy?1确定,求复合函dy数y?y(x(t))的导数.dtt?0解方程tcosx?x?0两边对t求导dxdx cosx?tsinx???0. dtdt 当t=0时,x=0,故dxcosx ???1.dtt?0tsinx?1t?0 x?0 方程ey??xy?1两边对x求导2５４ey?2? 当x?0时,y?2,故dydy ?y?x??0.dxdx dydx 因此,? x?0 ye y?2?x x?0y?2 ?2. dx??2.x?0dtt?01f(x) ?0，记?(x)??f?(xt)dt，求?(x)的导数，六.(6分)设函数f(x)在(??,??)上二阶可导，且lim 0x?0x 并讨论??(x)在x?0处的连续性.解由已知的极限知f(0)?0,f?(0)?0,从而有dydy?dtt?0dx??(0)??f?(0)dt?0. 01当x?0时,?(x)? ?10 f?(xt)dt? f(x)111x ??f(xt)d(xt)?f(u)du?,x?0x?0x 从而有?f(x),??(x)??x??0,因为x?0x?0.lim?(x)?limx?0x?0f(x)?0??(0),x所以,?(x)在x?0处连续.当x?0时,xf?(x)?f(x) ??(x)?, x2 在x?0处,由?(0)?0,有??(0)?lim x?0 ?(x)??(0) x ?lim x?0 f(x)f?(x)1 ?lim?f??(0)2?0xx2x2x?0x?0. 所以,?xf?(x)?f(x) ,2??x??(x)?? ?1f??(0),??2 而lim??(x)?limx?0x?0f?(x)f(x)f?(x)f?(x)?lim2?lim?limx?0xx?0x?02xxx1f?(x)1f?(x)?f?(0)1?lim?lim?f??(0)???(0),2x?0x2x?0x2 故??(x)在x?0处连续.七.(7分)设函数y?y(x)在(??,??)上可导,且满足:y??x?y2, 2 y(0)?0. ５５(Ⅰ)研究y(x)在区间(0,??)的单调性和曲线y?y(x)的凹凸性.(Ⅱ)求极限lim y(x) . x?0x3 解(Ⅰ)当x?0时,有2 y??x?y2?0, 2故y(x)在区间(0,??)单调增加.从而当x?0时,y??x?y2也单调增加.可见,曲线y?y(x)在区间(0,??)向下凸.(或当x?0时,可得2y???2x?2y?y??2x?2y(x?y2)?0.可见,曲线y?y(x)在区间(0,??)向下凸.)(Ⅱ)由题设知,y(0)?y?(0)?0.应用洛必达法则2y(x)y?(x)x?y2lim3?lim?limx?0xx?03x2x?03x22 121?y?111??lim?????y?(0)??.3x?03?x?333 八.(7分)设f(x)在[0,1]上具有连续导数,且0?f?(x)?1,f(0)?0.试证?1f(x)dx]??1[f(x)]3dx.?0????0?xx??证令F(x)??f(t)dt??[f(t)]3dt,??0?0?22则F(x)在[0,1]连续,且对x?(0,1),x0F?(x)?2f(x)?f(t)dt?[f(x)]3x2??f(x)2?0f(t)dt?f(x)?.????又由题设知,当x?(0,1)时,f(x)?0.续,且令g(x)?2 ?x0f(t)dt?f2(x),则g(x)在[0,1]上连x?(0,1),g?(x)?2f(x)[1?f?(x)]?0,故有g(x)?g(0)?0 因此于是F(x)在[0,1]上单调增加,x?(0,1). F?(x)?0,x?(0,1),F(x)?F(0)?0,x?[0,1].取x?1,即得11F(1)???f(t)dt???[f(t)]3dt?0.??0?0?2所证结论成立.九.(7分)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f??(x)?0.直线La是曲线y?f(x)上任意一点(a,f(a))处的切线,其中a?[0,1].记直线La与曲线y?f(x)以及直线x?0,x?1所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a).试问a为何值时V(a)取得最小值.解于是切线La的方程为yy?f(x)y?f(a)?f?(a)(x?a),即y?f?(a)x?af?(a)?f(a).1La1５６V(a)?2??x[f(x)?f?(a)x?af?(a)?f(a)]dx 0Oax可见,V(a)在[0,1]连续,在(0,1)可导.令1a1?1??2???xf(x)dx?f?(a)?f?(a)?f(a)?.322?0?1a?f??(a)?f??(a)]?f??(a)(3a?2)?0,3232 由于f??(a)?0,V(a)在(0,1)内有唯一的驻点a?. 3 222 V?(a)?0,因此,V(a)在a?处并且,当a?(0,)时,V?(a)?0;当a?(,1)时,333 V?(a)?2?[?取得最小值.十.(7分)计算解? L (siny?y)dx?(xcosy?1)dy,其中L为从点O(0,0)沿圆周x2?y2?2x在第一象限部分y 到点A(1,1)的路径.令P?siny?y,Q?xcosy?1,则A(1,1) ?Q?P ??cosy?(cosy?1)?1.?x?y 取点B(1,0).作有向直线段OB,其方程为y?0(x从0变到1).为L0(沿顺时针方向),OB(1,0)x作有向直线段BA,其方程为x?1(y从0变到1).由曲线L、有向直线段AB和BO形成的闭曲线记L0所围成的区域记为D,则? L (siny?y)dx?(xcosy?1)dy ?(?????)((siny?y)dx?(xcosy?1)dy) L0 AB BO ????d???(siny?y)dx?(xcosy?1)dy D BA ??(siny?y)dx?(xcosy?1)dyOB11 ?????(cosy?1)dy?0 04 1 ????sin1?1. 4 十.(8分)设（?从0变到2?）（1）有向闭曲线?是由圆锥螺线OA：x??cos?,y??sin?,z??，和有向直线段AO构成，其中O?0,0,0?，A?2?,0,2??；（2）闭曲线?将其所在的圆锥面z??（Ⅰ）如果F??z,1,?x?（Ⅱ）如果F??z,1,?x??x2?y2划分成两部分，?是其中的有界部分.?表示一力场，求F沿?所做的功W；表示流体的流速，求流体通过?流向上侧的流量.(单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段AO,其方程为?所求F沿?所做的功为?y?0??z?x(x从2?变到0).W? ? ? zdx?dy?xdz 2?0???OA??AO?(zdx?dy?xdz)0????0???cos???sin???sin???cos???cos????d???2??x?x?dx2?(?cos???2sin?)d??0?4?2.（Ⅱ）?所在的圆锥面方程为z?x2?y2，曲面?上任一点处向上的一个法向量为５７? n?(?zx,?zy,1)?(?xx?y22,?yx?y22,1), yO?在xOy面上的投影区域为D,在极坐标系下表示为:0?r??,0???2?.故所求流体通过?流向上侧的流量为2?x????zdydz?dzdx?xdxdy????z?(?zx)?(?zy)?x??dxdy??? ??2??y???d???2rcos??sin??rdr?????x??xdxdy?2002???x?y?? 2??2??23 ?????cos??sin??d???6?2.02?3? 注:(Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W???2dzdx?2???zydxdy?2????? ? yx?y22dxdy??2? 2?0 d?? ?0 2?rsin??rdr????2sin?d??4?2.0r ?十一.(8分)设函数u?u(x,y)在心形线L:r?1?cos?所围闭区域D上具有二阶连续偏导数,n?u 是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),是u(x,y)沿L的外法向的方向导数,L取?n 逆时针方向.?u?u?uds??dx??L?n?L?y?xdy. ?2u?2u?u2(Ⅱ)若2?2?xy?y?1,求?ds的值.L?n?x?y(Ⅰ)证明:(Ⅰ)证由方向导数的定义?其中,?是n相对于x轴正向的转角.??L ?uds??n ?L ( ?u?u cos??sin?)ds.?x?y 则?1???设?1是L的切向量?相对于x轴正向的转角,?,或???1?.22?故?L (Ⅱ)解?u ds??n ?L ( ?u?u sin?1?cos?1)ds.?x?y ?u?u???dx?dy.L?y?x 应用格林公式?L 由对称性?u?2u?2u ds???(2?2)dxdy???(x2y?y?1)dxdy D?xD?n?y ?L?1?cos??uds???1dxdy?2?dx?rdrD00?n５８?3??(1?cos?)2d???.02 xy22 十二.(8分)设圆x?y?2y含于椭圆2?2?1的内部,且圆与椭圆相切于两点(即在这两点ab 2 2 处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ)求a与b满足的等式;(Ⅱ)求a与b的值,使椭圆的面积最小.解(Ⅰ)根据条件可知,切点不在y轴上.否则圆与椭圆只可能相切于一点.设圆与椭圆相切于点(x0,y0),则(x0,y0)既满足椭圆方程又满足圆方程,且在(x0,y0)处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率,即?b2 x0ay??x02.注意到x0?0,因此,点(x0,y0)应满足0y0?1 ? ?x220??a2?y0b2?1(1)?x22?0?y0?2y0(2)?b21 ?? a2y? 0y0?1 (3) 由(1)和(2)式,得b2 ?a2b 2 y2 0?2y0?a2?0.(4)2由(3)式得yb 0?b2?a2 .代入(4)式b2?a2b42b2b2?(b2?a2)2?b2?a2?a2?0.化简得2 ?b2 a22b2?a2 , 或a2b?a4?b?0.(5)(Ⅱ)按题意,需求椭圆面积S??ab在约束条件(5)下的最小值.构造函数L(a,b,?)?ab??(a2b2?a4?b2).令??La?b??(2ab2?4a3)?0(6)?L?a??(2a2bb?2b)?0(7)??L??a2b2?a4?b2?0(8) (6)·a?(7)·b,并注意到??0,可得b2?2a4.代入(8)式得2a6?a4?2a4?0,故a?62 .从而b?2a2? 322.由此问题的实际可知,符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当a? 6322,b? 2 时,的面积最小.2012年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空题（共15分，每空3分） 此椭圆５９1．设f(x)?1?f(x)sin2x?1，则极限limf(x)?3xn?0e?1．（6）2．设函数f(x)连续切不等于0，又xf(x)dx?arcsinx?C，则??dx?f(x)3．）（3．半径为R的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜．1?(1?x2)2?C3?3，则流出的水量V?（333?R）82224．设函数f(x)可微，且f(0)?0，f?(0)?1，又设平面区域D：x?y?t，则12?22fxy．（）lim(?)d??t?0?t3??3D5．给定曲线积分I?为?C (y3?y)dx?2x3dy，其中C为光滑的简单闭曲线，取正向．当曲线C的方程时，I的值最大．（6x?3y?1）x0 22二、单项选择题（共15分，每空3分） 1．设函数f(x)有连续导数，f(0)?1，f?(0)?0，又设x?0时，F(x)?同阶无穷小，则（（A）k?1 ）．（B）k?2 (D)（C）k?3?(x2?t2)f(t)dt与xk是（D）k?4 2 2．设函数f(x)在点x?0的一个邻域内有定义，且满足f(x)?x，则有（（A）f(x)在点x?0处不一定可导（C）f(x)在点x?0处可导，且f?(0)?0）．(B)（B）f(x)在点x?0处可导，且f?(0)?0（D）f(x)在点x?0处取得极小值3．设连续函数y?f(x)在区间[?3，3]上的图形?2]和[2，分别是直径为1的上半圆周和下半圆周，在区间[?2，0]和[0，2]上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果G(x)?（）．（A）整个[?3，3]（C）仅为[0，3]?x0 f(t)dt，那么函数G(x)非负的范围是(A)（B）仅为[?3，?2]?[0，2]（D）仅为[?3，?2]?[0，3] ?4．设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)?0．记I1???10f(x)dx，I2??(B)20f(sinx)dx，I3??40f(tanx)dx，则（）．（C）I2?I3?I1（A）I1?I2?I3（B）I2?I1?I3（D）I3?I2?I1）．（B）?x?cos?， ? 5．螺旋线?y?sin?，（0???2?）上与平面x?y?z?0平行的切线有（?z??? （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条６０1?an?11n三、设an?(，a0?cos?（0????），求极限lim4(1?an)．2，3，?）)2（n?1，n??2（本题7分）（?22，其中an?cos ?2 n ）四、设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)?1，F(x)f(x)?cos2x，求积分（本题7分）222?10 f(x) dx．）（2(2?1)，其中F(x)?sinx?cosx五、已知曲面4x?y?z?1上的点P处的切平面?平行于平面2x?y?z?1，求切平面?的方程．（本题7分）（2x?y?z??1）六、求积分?10 xnlnnxdx，其中n为正整数．（本题7分）1n(?1)nn!?n1nn?1n（，其中xxxxlnxdx）ln?dn?1??00n?1(n?1) y?2x2和曲线C2：y?x2的位置如图，P(x，y)是曲七、设曲线C与曲线C1：线C1上任一点，过点P垂直于x轴的直线与曲线C和C2围成图形记为A，过点P垂直于y轴的直线与曲线C和C1围成图形记为B．若A和B分别绕y轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线C的方2程．（本题7分）（y?4x）八、一个半径为r（r?1）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为r的圆周（如图），问当r为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？．（r? （本题7分）123?r???2(1?y2)dy）1?r35 九、设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶连续导数，f(0)?f(1)?0，并且对于区间2 ，其中V?若积分?(0，1)中的一切x有f(x)?0．10f??(x)f(x)证明不等式?dx存在，10f??(x)f(x)dx?4．（本题7分）（提示：设f(x)的最大值为f(x0)，在区间[0，x0]、[x0，1]上对函数f(x)使用微分中值定理，然后再对积分缩小，其中区间与函数都缩小）十、设?是以原点和三点(0，1，0)、(1，1，1)、(0，1，1)为顶点的四面体．（1）将三重积分（2）试证明（x???e?2?y2?z2dxdydz表示为“先z次y后x”的三次积分；11x2(?edx)3．601 y x2?y2?z2x ???e?x2?y2?z2dxdydz?1 （本题7分）???e ? 2x2?y2?z2dxdydz??dx?dy?e 0 x dz，0?x?1，0?y?1，0?z?1分成6个四面体，由对换性得提示：后者的证明将区域?：1x2?y2?z2edxdydz）???6?*? ??)到点B(??，??)的有向曲线，计算曲线积分十一、设C是沿抛物线y??cosx由点A(?， (x?y)dx?(x?y)dy．（本题7分）I??22Cx?yx e??? ?y2?z2*dxdydz? ６１3 ??，提示：用积分与路径无关，注意避开原点）2???2V?z??sin?xixk，曲面S是由曲线十二、设密度为1的流体的流速为（??y?1?z2，（1?z?2）???x?0绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z周正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面正侧的流量．（本题7分）（?12815?，提示：补面用高斯公式，或用换坐标公式）Q６２
2001-2015年天津市大学生数学竞赛试题合集
