专题28 数列的性质
【方法点拨】
1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调性（判断数列的增减性和确定数列中最大（小）项，求数列最值等）等；
2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商.
【典型题示例】
111例1 若不等式＋＋…＋>a－7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大
n＋1n＋23n＋1
值为________． 【答案】8
11
【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式＋＋…
n＋1n＋2
＋
1
的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解． 3n＋1
111
【解析】令f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，
n＋1n＋23n＋1
对任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝
23n＋2
>0，
1111
＋＋－＝3n＋23n＋33n＋4n＋1
3n＋13n＋4
所以f(n)在N*上是增函数．
1313
又f(1)＝，对一切正整数n，f(n)>a－7都成立的充要条件是>a－7，
121297
所以a<，故所求正整数a的最大值是8.
12
点评：本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造
函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通.
例2 已知常数??0，设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,满足：a1?1，Sn?1?an?11Sn???3n?1an?1（n?N*）．若an?1?an对一切n?N*恒成立，则实数?的an2??取值范围是 ． 【答案】??1 3
1
【分析】已知条件Sn?1?an?1Sn???3n?1an?1中含“项、和”，需抓住特征，实施消和. ??an【解析】∵San?1?n?1aSn????3n?1?an?1 an?0 ， n∴
Sn?1Sna????3n?1 n?1an则
S2?S1???3?1，S3?S2SnSn?1a???32?1，2a1a3a2a????3n?1?1?n?2?nan?1相加，得
Sn?1???3?32a?3n?1??n?1
n则S?3n?3?n????2?n???an?n?2?
上式对n?1也成立，
∴S?3n?3?2?n?n??????an?n?N*?． ③
∴S???3n?1?3?n?1?n????a*n?1?n?N?． ④
?2④－③，得a?3n?1?3n?1????2?n?1????a?3n?3?n?1????2?n???an 即??3n?1?3??3n???2?n???a3?n?1????2?n???an 3n?1∵??0，∴??32?n?0,?3n?32?n?0 . ∵a1n?1?2an对一切n?N*恒成立，
∴?3n?32?n?12(?3n?1?32?n)对一切n?N*恒成立． 即??2n3n?3对一切n?N*恒成立． 记b2n2n2n?2?4n?2??3n?6n?3n?3,则bn?bn?1?3n?3?3n?1?3??3n?3??3n?1?3?
2
当n?1时，bn?bn?1?0； 当n?2时，bn?bn?1?0
1是{bn}中的最大项． 31综上所述，?的取值范围是??.
3【巩固训练】
∴ b1?b2?1. 已知数列?an?中，则在数列an?第 项，最大项为第____项.
2.等比数列?an?的首项a1?1000，公比q??P1,P2,P3,???,Pn,???(n?N)中第______项最大.
n?79(n?N?)则数列?an?的前50项中最小项为
n?801?，设pn?a1?a2?a3?????an(n?N)，则2n?(n?N)，则在数列?an?的最大项为第______项. 2n?2011114.求使得不等式??????????2a?5对n?N?恒成立的正整数a的
n?1n?2n?33n?13.已知an?最大值为____________. 5.数列{an}满足a1?1,an?11m222?4?1,记S?a?a???a,S?S?若对n12n2n?1n230an任意n?N*恒成立，则正整数m的最小值为 .
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是 A．(－∞，2)
B．(－∞，3)
C．(－∞，4)
D．(－∞，5)
7．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?1.若对任意正整数n都有?Sn?1?Sn?0恒成立，则实数?的取值范围为（ ） A．???,1?
B．???，?
n?1??1?2?C．???，?
??1?3?D．???，?
??1?4??3?8．已知数列?an?的通项公式为an????4?A．a1
B．a2
??3?n?1?. 则数列?an?中的最小项为（ ）????1?，
4??????C．a3
D．a4
an?1?a1?a，9．已知数列?an?满足：
5an?8n?N??，?若对任意的正整数n，都有an?3，
an?1
3
数列的性质-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(新高考地区专用)
