湖北省宜昌市(东湖高中、宜都二中)复数中难题训练

由天下分享时间：2025/1/7 9:37:57 加入收藏我要投稿点赞

一、复数选择题

2?（） 1．复数1?iA．?1?i 2．复数z?A．1?i

B．?1?i

C．1?i

D．1?i

1，则z的共轭复数为（） 1?iB．1?i

C．

11?i 22D．

11?i 223．已知复数z?2?i，若i为虚数单位，则A．

1?i?（） zC．1?i

31?i 552B．

13?i 5513D．

1?i 34．若z1??1?i?，z2?1?i，则A．1?i A．?1?2i 6．已知复数z?A．-1

7．已知复数z?A．第一象限

B．?1?i B．?1?2i

z1等于（） z2C．1?i C．1?2i

D．?1?i D．1?2i

5．若zi2021?2?i，则z?（）

m??m?m2?iiB．0

为纯虚数，则实数m?（）

C．1

D．0或1

2i，则复数z在复平面内对应点所在象限为（） 1?iB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

8．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则z1?z2?（）

A．2 B．22

C．2 D．8

9．已知复数z?1?i?i（i为虚数单位），则z?（） A．1

B．?2?i

C．2?i

D．2?i

10．若复数z满足z?2?i??3?i，则复数z的虚部为（） 2?i333 B．?i C． 55511．若z(1?i)?2i，则在复平面内z对应的点位于（）

A．

A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

D．i

3512．已知a?3i?1?i??2?bi(a,b?R，i为虚数单位)，则实数a?b的值为（） A．3

B．5

C．6

D．8

13．若i为虚数单位，a,b?R，且A．2 B．3

a?2i?b?i，则复数a?bi的模等于（） iC．5 D．6

14．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,1)，则A．1?i C．?1?i 15．若复数zA．0

z?（） iB．?1?i

D．1?i

1i，i是虚数单位，则z?（） 1iB．

1 2C．1 D．2

二、多选题

16．i是虚数单位，下列说法中正确的有（） A．若复数z满足z?z?0，则z?0

B．若复数z1，z2满足z1?z2?z1?z2，则z1z2?0 C．若复数z?a?ai(a?R)，则z可能是纯虚数

D．若复数z满足z2?3?4i，则z对应的点在第一象限或第三象限

1?i2020(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（） 17．已知复数z?1?iA．z的实部为2

B．z的虚部为1

2C．z?2?i

D．|z|?2 18．已知复数z满足z?2z?0，则z可能为（） A．0

B．?2

C．2i

D．?2i

19．下面是关于复数z?A．|z|?2的四个命题，其中真命题是（） ?1?iC．z的共轭复数为?1?i D．z的虚部为?1

2 B．z2?2i

20．已知复数z0?1?2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足

|z?1|?|z?i|，下列结论正确的是（）

A．P0点的坐标为(1,2) 虚轴对称

B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于

C．复数z对应的点Z在一条直线上

D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为

2 221．若复数z满足(1?i)z?3?i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（） A．|z|?5 C．z的虚部是1

22．已知复数z1?2?i,z2?2i则（） A．z2是纯虚数 C．z1?z2?3

B．z1?z2对应的点位于第二象限 D．z1z2?25 B．z的实部是2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

23．设i为虚数单位，复数z?(a?i)(1?2i)，则下列命题正确的是（） A．若z为纯虚数，则实数a的值为2

B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(?1,2) 21是z?z（z为z的共轭复数）的充要条件 2D．若z?|z|?x?5i(x?R)，则实数a的值为2

C．实数a??24．任何一个复数z?a?bi（其中a、b?R，i为虚数单位）都可以表示成：

z?r?cos??isin??的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

nzn??rcos??isin??r????cosn??isinn???n?N??，我们称这个结论为棣莫弗定??n理.根据以上信息，下列说法正确的是（） A．z?z B．当r?1，??C．当r?1，??D．当r?1，??22?3时，z3?1 时，z??313?i 22?4时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

25．已知复数z满足z(2?i)?i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则（）

3 5C．复数z的实部为?1

A．|z|?26．以下为真命题的是（） A．纯虚数z的共轭复数等于?z

B．z??1?2i 5D．复数z对应复平面上的点在第二象限 B．若z1?z2?0，则z1?z2

C．若z1?z2?R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1?z2?0，则z1与z2互为共轭复数

27．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,y?R，且x?yi?1?i，则x?y?1 B．任意两个虚数都不能比较大小

2?0，则z1?z2?0 C．若复数z1，z2满足z12?z2D．?i的平方等于1 28．复数z?A．|z|?5 C．z的实部与虚部之和为2 A．|z|?5 C．z的共轭复数为?1?2i

2?i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（） 1?iB．z的共轭复数为

31?i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限 B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 D．复数z在复平面内对应的点在直线

29．设复数z满足z??1?2i,i为虚数单位,则下列命题正确的是( )

y??2x上

30．已知复数z?a?bi(a,b?R,i为虚数单位),且a?b?1,下列命题正确的是( ) A．z不可能为纯虚数数

C．若z?|z|,则z是实数

D．|z|可以等于

B．若z的共轭复数为z,且z?z,则z是实

1 2

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、复数选择题 1．C 【分析】

根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】

根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】

2(1?i)22(1?i)???1?i.

1?i(1?i)(1?i)2故选：C

2．D 【分析】

先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为，

所以其共轭复数为. 故选：D.

解析：D 【分析】

先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为z?11?i1?i11????i， 1?i?1?i??1?i?22211?i. 22所以其共轭复数为故选：D.

3．B 【分析】

利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】，. 故选：B.

解析：B 【分析】

利用复数的除法法则可化简【详解】

1?i，即可得解. z1?i1?i?1?i??2?i?1?3i13?????i. z?2?i，?z2?i?2?i??2?i?555故选：B.

4．D 【分析】

由复数的运算法则计算即可. 【详解】解：， . 故选：D.

解析：D 【分析】

由复数的运算法则计算即可. 【详解】解：

z1??1?i??1?2i?i2??2i，

2z1?2i?2i?(1?i)?2i?2i2?2i?2???????1?i. z21?i?1?i??1?i?1?i22故选：D.

5．C 【分析】

根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】

由已知可得，所以. 故选：C

解析：C 【分析】

根据复数单位i的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得z?故选：C

2?i2?i2?i(2?i)?i2i?1?????1?2i，所以z?1?2i. 2021505?4?1iiii?i?16．C 【分析】

结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可【详解】

解析：因为为纯虚数，所以，解得，故选：C.

解析：C 【分析】

结合复数除法运算化简复数z，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为z?m??m?m2?ii?m2?m?0，解得??m2?m??mi为纯虚数，所以?m?0?m?1，

故选：C.

7．B

【分析】

对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】

，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.

解析：B 【分析】

对复数z进行化简，再得到z在复平面内对应点所在的象限. 【详解】

2i?1?i?2i??i?1+i???1+i，z在复平面内对应点为??1,1?，在第二象限. z?1?i?1?i??1?i?故选：B.

8．B 【分析】

根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】

由图象可知，，则，故. 故选:B.

解析：B 【分析】

根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】

由图象可知z1?i，z2?2?i，则z1?z2??2?2i，

故z1?z2?|?2?2i|?(?2)2?22?22. 故选:B.

9．D 【分析】

先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D

解析：D 【分析】

先对z?1?i?i化简，求出z，从而可求出z 【详解】

解：因为z?1?i?i?12?12?i?所以z?故选：D

2?i，

10．A 【分析】

由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.

解析：A 【分析】

由复数的除法法则和乘法法则计算出z，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得z?3?i?2?i?2?3?i?3?i??3?4i??1?3i?， 3?4i?3?4i??3?4i?55其虚部为故选：A.

3， 511．B 【分析】

先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为，所以，

故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】

本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计

解析：B 【分析】

先求解出复数z，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】

2i?1?i?2i???1?i， 1?i2故z对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】

因为z(1?i)?2i，所以z?本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.

12．D 【分析】

利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解【详解】，故则故选：D

解析：D 【分析】

利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解【详解】

a?3i?1?i??2?bi，故a?3?3i?2?bi 则a?3?2,b?3?a?b?8

故选：D

13．C 【分析】

首先根据复数相等得到，，再求的模即可. 【详解】因为，所以，. 所以. 故选：C

解析：C 【分析】

首先根据复数相等得到a??1，b?2，再求a?bi的模即可. 【详解】

因为a?2i??b?i?i??1?bi，所以a??1，b?2. 所以a?bi??1?2i?故选：C

??1????2?22?5.

14．A 【分析】

根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解. 【详解】

因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，所以, 所以, 故选：A

解析：A 【分析】

根据复数z对应的点的坐标是(1,1)，得到z?1?i,再利用复数的除法求解. 【详解】

因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,1)，所以z?1?i,

z1?i??1?i, ii故选：A

所以

15．C 【分析】

由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C．

解析：C 【分析】

由复数除法求出z，再由模计算．【详解】

1?i(1?i)2?2iz?????i，由已知

1?i(1?i)(1?i)2所以z??i?1．故选：C．

二、多选题 16．AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题

解析：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】

A选项，设z?a?bi?a,b?R?，则其共轭复数为z?a?bi?a,b?R?，则z?z?a2?b2?0，所以ab0，即z?0；A正确；

B选项，若z1?1，z2?i，满足z1?z2?z1?z2，但z1z2?i不为0；B错； C选项，若复数z?a?ai(a?R)表示纯虚数，需要实部为0，即a?0，但此时复数

z?0表示实数，故C错；

D选项，设z?a?bi?a,b?R?，则z2??a?bi??a2?2abi?b2?3?4i，

2?a2?b2?3?a?2?a??2所以?，解得?或?，则z?2?i或z??2?i，

?b?1?b??1?2ab?4所以其对应的点分别为?2,1?或??2,?1?，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD.

17．AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】因为复数，所以z的虚部为1，，故AC错误，BD正确. 故选：AC

解析：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】

1?i20201?(i4)50522(1?i)因为复数z?????1?i，

1?i1?i1?i2所以z的虚部为1，|z|?12+12=2，故AC错误，BD正确. 故选：AC

18．ACD 【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值. 【详解】令代入，得：， ∴，解得或或

∴或或．故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD 【分析】

令z?a?bi代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值. 【详解】

令z?a?bi代入z?2|z|?0，得：a2?b2?2a2?b2?2abi?0，

2??a?0,?a?0,?a?0,?a2?b2?2a2?b2?0∴?，解得?或?或?

b?0b?2b??2,?????2ab?0∴z?0或z?2i或z??2i．故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

19．ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】，

，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确；故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法

解析：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出z，再依次判断各选项. 【详解】

z??z?2??1?i?2???1?i， ?1?i??1?i???1?i???1?22???1??2，故A正确；z???1?i??2i，故B正确；z的共轭复数

22为?1?i，故C正确；z的虚部为?1，故D正确；故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.

20．ACD

【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确

解析：ACD 【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出z，利用|z?1|?|z?i|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性. 【详解】

复数z0?1?2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；

设z?x?yi(x,y?R)，代入|z?1|?|z?i|，得|(x?1)?yi?x?(y?1)i|，即

(x?1)2?y2?x2?(y?1)2，整理得，y?x；即Z点在直线y?x上，C正确；

易知点P0到直线y?x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为故选：ACD 【点睛】

本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.

1?22?2，故D正确. 221．ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断. 【详解】，，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复

解析：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，根据共轭复数概念得到z，即可判断.

【详解】

(1?i)z?3?i，

?z?3?i?3?i??1?i?4?2i???2?i， 1?i?1?i??1?i?2?z?22?1?5，故选项A正确，

z的实部是2，故选项B正确， z的虚部是?1，故选项C错误，

复数z?2?i在复平面内对应的点为?2,1?，在第一象限，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.

22．AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，对应的

解析：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算z1?z2及z1z2，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，z1?z2?2?3i对应的点位于第四象限，故B错；对于C选项，z1?z2?2?i，则z1?z2?22?12?5，故C错；

22?42?25，故D正确.

对于D选项，z1?z2??2?i??2i?2?4i，则z1z2?故选：AD 【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

23．ACD 【分析】

首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误

【详解】

∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确选项B

解析：ACD 【分析】

首先应用复数的乘法得z?a?2?(1?2a)i，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】

z?(a?i)(1?2i)?a?2?(1?2a)i

∴选项A：z为纯虚数，有??a?2?0可得a?2，故正确

?1?2a?0?a?2?01解得a??，故错误

2?1?2a?0选项B：z在复平面内对应的点在第三象限，有?选项C：a??件，故正确

151时，z?z??；z?z时，1?2a?0即a??，它们互为充要条222选项D：z?|z|?x?5i(x?R)时，有1?2a?5，即a?2，故正确故选：ACD 【点睛】

本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围

24．AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，，则，可得

解析：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，z?r?cos??isin??，则z?r22?cos2??isin2??，可得

2z2?r2?cos2??isin2???r2，z?r?cos??isin???r2，A选项正确；

2对于B选项，当r?1，??3?3时，

z3??cos??isin???cos3??isin3??cos??isin???1，B选项错误；

对于C选项，当r?1，??项正确；

对于D选项，z??cos??isin???cosn??isinn??cosnn?3时，z?cos?3?isin?3?1313i，C选?i，则z??2222n?n??isin， 44取n?4，则n为偶数，则z4?cos??isin???1不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

25．BD 【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断. 【详解】因为复数满足，所以

所以，故A错误；，故B正确；

复数的实部为，故C错误；复数对应复平面上的点在第二象限

解析：BD 【分析】

因为复数z满足z(2?i)?i，利用复数的除法运算化简为z??【详解】

因为复数z满足z(2?i)?i，所以z?12?i，再逐项验证判断. 55ii(2?i)12????i 2?i?2?i?(2?i)55225?1??2?所以z????????，故A错误；

5?5??5?12?i，故B正确； 551复数z的实部为? ，故C错误；

5 z??复数z对应复平面上的点??,故选：BD 【点睛】

?12??在第二象限，故D正确. 55??本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.

26．AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A正确；对于B

解析：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若z为纯虚数，可设z?bi?b?0?，则z??bi??z，即纯虚数z的共轭复数等于?z，故A正确；

对于B，由z1?z2?0，得出z1??z2，可设z1?1?i，则z2??1?i，则z2??1?i，此时z1?z2，故B错误；

对于C，设z1?a?bi,z2?c?di，则z1?z2??a?c???b?d?i?R，则b?d?0，但a,c不一定相等，所以z1与z2不一定互为共轭复数，故C错误；对于D，z1?z2?0，则z1?故选：AD. 【点睛】

本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.

z2，则z1与z2互为共轭复数，故D正确.

27．AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误．【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；

对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误．【详解】

对于选项A，∵x,y?R，且x?yi?1?i，根据复数相等的性质，则x?y?1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

2?0，则z1?z2?0，故不正确；对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12?z2对于选项D，∵复数??i?=?1，故不正确；故选：AB．【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.

228．CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】

由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一

解析：CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数z，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数z?2?i(2?i)(1?i)1?3i13????i，可得21?i(1?i)(1?i)1?i22131310，则A不正确；z的共轭复数为?i，则B不正确；z的实|z|?()2?()2?222221313部与虚部之和为??2，则C正确；z在复平面内的对应点为(,)，位于第一象限，

2222则D正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】

本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.

29．AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.

【详解】

,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对

解析：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

|z|?(?1)2?(?2)2?5,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(?1,?2),在第三象

限,B不正确;z的共轭复数为?1?2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(?1,?2)不在直线

y??2x上,D不正确.

故选:AC 【点睛】