2019年数学中考专题复习:圆的综合题
1．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=
25，tan∠AEC=，求圆的直径． 33
2. 如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
(1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 1. (1)证明：连接OC,
∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．
(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5?x)2?(6?x)2?25，化简得：x2?11x?18?0
解得x?2或x?9。由AD 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6. 3．（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD． (1)如图①，当PA的长度等于 ▲ 时，∠PAB＝60°； 当PA的长度等于 ▲ 时，△PAD是等腰三角形； (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如 图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值． 4、 5． 如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧⌒AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点． 3（1）求证：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长． 2 6．（如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线. （证明：连结DO，∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE， ∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE， 又∵OD⊥BC，∴OD⊥DE，故DE是⊙O的切线） 22
2019年中考数学专题复习：圆的综合题(含答案)
