2019年数学中考专题复习:圆的综合题
1.如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC. (1)求证:CA是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=
25,tan∠AEC=,求圆的直径. 33
2. 如图右,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。
(1)求证:CD为⊙0的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度. 1. (1)证明:连接OC,
∵点C在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C在⊙O上,OC为⊙0的半径,∴CD为⊙0的切线.
(2)解:过0作0F⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF为矩形,∴0C=FD,OF=CD.
∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5?x)2?(6?x)2?25,化简得:x2?11x?18?0
解得x?2或x?9。由AD 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6. 3.(已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD. (1)如图①,当PA的长度等于 ▲ 时,∠PAB=60°; 当PA的长度等于 ▲ 时,△PAD是等腰三角形; (2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如 图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.坐标为(a,b),试求2 S1 S3-S22的最大值,并求出此时a,b的值. 4、 5. 如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧⌒AB上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点. 3(1)求证:PM=PN;(2)若BD=4,PA= AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长. 2 6.(如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD=AB·AE,求证:DE是⊙O的切线. (证明:连结DO,∵AD=AB·AE,∠BAD=∠DAE,∴△BAD∽△DAE, ∴∠ADB=∠E. 又∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠E,BC∥DE, 又∵OD⊥BC,∴OD⊥DE,故DE是⊙O的切线) 22
2019年中考数学专题复习:圆的综合题(含答案)
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