全国高考数学复习微专题：等比数列性质(含等差等比数列综合题)

等比数列性质

一、基础知识

1、定义：数列?an?从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数q?q?0?，则称?an?为等比数列，这个常数q称为数列的公比

注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为q?1的等比数列，而常数列0,0,0,L只是等差数列

n?mn?12、等比数列通项公式：an?a1?q，也可以为：an?am?q

3、等比中项：若a,b,c成等比数列，则b称为a,c的等比中项 （1）若b为a,c的等比中项，则有

ab??b2?ac bc?（2）若?an?为等比数列，则?n?N，an?1均为an,an?2的等比中项 （3）若?an?为等比数列，则有m?n?p?q?aman?apaq 4、等比数列前n项和公式：设数列?an?的前n项和为Sn 当q?1时，则?an?为常数列，所以Sn?na1 当q?1时，则Sn?a1?1?qn?1?q?

可变形为：Sn?a1?1?qn?1?qaa1naq?1，设k?1，可得：Sn?k?qn?k

q?1q?1q?15、由等比数列生成的新等比数列

（1）在等比数列?an?中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列?an?,?bn?，则有 ① 数列?kan?（k为常数）为等比数列

?1?② 数列?an?（?为常数）为等比数列，特别的，当???1时，即??为等比数列

?an??③ 数列?anbn?为等比数列 ④ 数列an为等比数列

??6、相邻k项和的比值与公比q相关：

设S?am?1?am?2?L?am?k,T?an?1?an?2?L?an?k，则有：

2kSam?1?am?2?L?am?kam?q?q?L?q?amn?m????q 2kTan?1?an?2?L?an?kaan?q?q?L?q?n特别的：若a1?a2?L?ak?Sk,ak?1?ak?2?L?a2k?S2k?Sk,

a2k?1?a2k?2?L?a3k?S3k?S2k,L，则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,L成等比数列

7、等比数列的判定：（假设?an?不是常数列） （1）定义法（递推公式）：

an?1?q?n?N?? ann（2）通项公式：an?k?q（指数类函数） n（3）前n项和公式：Sn?kq?k

注：若Sn?kq?m?m?k?，则?an?是从第二项开始成等比关系

n2?（4）等比中项：对于?n?N，均有an?1?anan?2

8、非常数等比数列?an?的前n项和Sn 与??1??前n项和Tn的关系 a?n?Sn?a1?1?qn?1?q，因为??1?11是首项为，公比为的等比数列，所以有?aqa1?n?Tn?n1??1???1????a1???q???1?1qqn?1qn?1qn ??q?1a1qn?1?q?1?a1?qnn?1Sna1?1?q?a1q?q?1????a12qn?1 nTn1?qq?12例1：已知等比数列?an?的公比为正数，且a2?1,a3a9?2a5，则a10?________

222思路：因为a3a9?a6，代入条件可得：a6?2a5，因为q?0，所以a6?2a5，q?2

8所以a10?a2q?16

答案：16

例2：已知?an?为等比数列，且a3??4,a7??16，则a5?（ ） A. 64 B. ?64 C. 8 D. ?8 思路一：由a3,a7可求出公比：q?4a7?4，可得q2?2，所以a5?a3q2??4?2??8 a32思路二：可联想到等比中项性质，可得a5?a3a7?64，则a5??8，由等比数列特征可得

奇数项的符号相同，所以a5??8 答案：D

小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

n?1例3：已知等比数列an的前n项和为Sn?t?2?1，则实数t的值为（ ）

A. ?2 B. ?1 C. 2 D. 0.5

n思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n项和为Sn?kq?k的形式，

所以Sn?t?2答案：A

n?1?1?tnt?2?1，即??1?t??2 22例4：设等比数列?an?的前n项和记为Sn，若S10:S5?1:2，则S15:S5?（ ） A.

3211 B. C. D. 4323a1?1?qn?1?q可得：S10?思路：由Sn?a1?1?q10?1?q,S5?a1?1?q5?1?q，可发现只有分子中q的

指数幂不同，所以作商消去a1后即可解出q，进而可计算出S15:S5的值 解：QS10?a1?1?q10?1?q,S5?a1?1?q5?1?q

1S101?q10155q??，解得： ???1?q?52S51?q2?1?91??1515??S15a1?1?q?1?q1?q?2??8?3

所以????5S51?q?1?34a1?1?q5?1?q1?????2?23答案：A

例5：已知数列?an?为等比数列，若a4?a6?10，则a7?a1?2a3??a3a9的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200

思路：与条件a4?a6?10联系，可将所求表达式向a4,a6靠拢，从而

22a7?a1?2a3??a3a9?a7a1?2a7a3?a3a9?a4?2a4a6?a6??a4?a6?，即所求表达式

2的值为100 答案：C

例6：已知等比数列?an?中a3?1，则其前5项的和S5的取值范围是（ ）

A. ?1,??? B. ??,??? C. ?5,??? D. ???,0?U?5,??? 思路：条件中仅有a3，所以考虑其他项向a3靠拢，所以有

?5?4???aa3111??1?22再求出其S5?3??a?aq?aq???1?q?q?q??q?333?????1，22qqqqq??q??值域即可

解：S5?a1?a2?a3?a4?a5?S5?22a3a31122??a?aq?aq???1?q?q 333q2qq2q1?1??1? ??q????q???1，设t?q?，所以t????,?2?U?2,???

qq??q???1?5?S5?t2?t?1??t??? ?S5??1,???

?2?4答案：A

例7：已知数列?an?是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“q?1”是“数列?an?是递增数列”的（ ）

A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路：在等比数列中，数列的增减受到a1的符号，与q的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若q?1，则数列?an?是递增数列”，如果a1?0，则?an?是

2递减数列，所以命题不成立；再看“若数列?an?是递增数列，则q?1”，同理，如果a1?0，则要求q??0,1?，所以命题也不成立。综上，“q?1”是“数列?an?是递增数列”的既不充分也不必要条件 答案：D

例8：在等比数列?an?中，若a1?a2?a3?a4?（ ） A.

1111159,a2a3??，则????a1a2a3a4885533 B. ? C. D. ? 3355解：条件与结论分别是

?an?的前4项和与倒数和，所以考虑设

S4?a1?a2?a3?a4,T4?所以T4?1111S9232???，则4?a1q??a1q???a1q??a2a3?? a1a2a3a4T48S45?? 93?8答案：B

例9：已知等比数列?an?中，各项都是正数，且a3?a1?2a2，则（ ）

A. 1?2 B. 1?2 C. 3?22 D. 3?22 思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与q相关，所以需要求出q。由条件a3?a1?2a2，将等式中的项均用a1,q即可求出q。从而解得表达式的值 解：Qa1,a3,2a2成等差数列

a9?a10?a11?a12?a7?a8?a9?a10121?2?a3?a1?2a2 将a3?a1q2,a2?a1q代入等式可得：

2a1q2?a1?2a1q?q2?2q?1?0

?q?2?22?1?2，而?an?为正项数列，所以q?1?2不符题意，舍去 2?q?1?2