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几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S1 : S2 = a : b
定理2：等分点结论( 鸟头定理)
如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的
313 ??5420
定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1） S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)
1）S1∶S3 =a2∶b2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2）左、右部分的面积相等
3）S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab
4）S的对应份数为（a+b）2
定理4：相似三角形性质
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1）
abch??? ABCH
2） S1 ∶S2 = a2 ∶A2
定理5：燕尾定理
S△ABE ∶ S△AEC = S△BGE ∶ S△GEC = BE∶EC
S△BGA ∶ S△BGC = S△AGF ∶ S△GFC = AF∶FC
S△ADC ∶ S△DCB = S△ADG ∶ S△DGB = AD∶DB
二、 例题
例1、如图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？
例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD?三角形DEF的面积.
AAEFCDB111AB，BE?BC，CF?CA，求234
D
例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，上的一点，且BE=
BEFCE为AB三角
1AB,已知四边形EDCA的面积是35，求3形ABC的面积.
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例4 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB
面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
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A9O25BDC
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。 如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的
1，且 3AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
DAOBC
例10、左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知
2
两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm，求CF的长。
例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
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例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部
分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且?ADG的面积比
? ?EFG的面积大6平方厘米。?ABC的面积是多少平方厘米AFGBDEC
三、 练习题
1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积
=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm，△CED的面积6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
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小学奥数之几何蝴蝶定理问答
