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抽象函数单调性与奇偶性
特殊模型 正比例函数f(x)=kx (k≠0) 幂函数 f(x)=xn 指数函数 f(x)=ax (a>0且a≠1) 对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx 正切函数 f(x)=tanx 余切函数 f(x)=cotx 1.已知f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)……①
在①中令y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.奇函数f(x)在定义域（-1，1）递减，求满足f(1?m)?f(1?m)?0的实数m的取值围。
2抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或f(x)?yf(x)f(y)] f(x+y)=f(x)f(y) [或f(x?y)?f(x) f(y)f(xy)=f(x)+f(y) [或f(x)?f(x)?f(y)] yf(x+T)=f(x) f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y)1?f(x)f(y)f(x)?f(y) f(x?y)?解：由f(1?m)?f(1?m)?0得f(1?m)??f(1?m)，∵f(x)为函数，∴f(1?m)?f(m?1)
222??1?1?m?1?2又∵f(x)在（-1，1）递减，∴??1?m?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.如果f(x)=ax?bx?c(a>0)对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
2解：对任意t有f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax?bx?c的对称轴
2又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=f(3)∵在［2，＋∞)上，f(x)为增函数 ∴f(3) 4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是解：设∵∴ ，即，∵当 ， ，∴f（x）为增函数。 的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。 ，∴ ， . .下载可编辑 . . .. 在条件中，令y＝－x，则＝f（x），f（x）为奇函数， ，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x） ∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 5. 已知函数f（x）对任意＝5，求不等式 ，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）的解。 ，∵当 ， ， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴ ，∴ 6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在 成立。求： （1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入 。若f（x）＝0，则对任意 ＝1。 （2）令y＝x≠0，则 故对任意x，f（x）＞0恒成立。 7.是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在下： （1）x＝1时，∵确。 （2）假设 ＋1时，结论正确。 综上所述，x为一切自然数时 8.设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足 （1）f（1）； （2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数 的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。 ，求： 。 时有 ，则x＝k＋1时， ，∴x＝k，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴ ，结论正 ，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数 ，用数学归纳法证明如 ；③f（2） ，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0， 的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 ，则 ，有 ，∴ ，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0） ，使得 ，对任何x和y， ， 即 ，解得不等式的解为－1 < a < 3。 ，∴ 分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设 ，则 即 ，∴f（x）为单调增函数。 ∵ . .下载可编辑 . . .. 解：（1）∵（2）即 ，∴f（1）＝0。 ，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）， ，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故 ，解之得：8＜x≤9。 9.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。 解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而 ，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、 n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。 10. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当是定义域中的数时，有； ②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f（x）是y=-cotx的抽象函数，从而由y=-cotx及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成 进行猜想）。 是定义域中的数时有 解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且 ，∴在定义域中。∵ ， ∴f（x）是奇函数。 （2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0， ∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知∴在（0，2a）上f（x）是增函数。 ，∵f（a）＝－1，∴ ，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a， ，于是f（x1）＜ f（x2）， 中的 又 则0＜x－2a＜2a， . .下载可编辑 . .
专题_抽象函数地单调性与奇偶性地证明
