人教版高中数学选修1-1学案
3.3.2函数的极值与导数
学习目标:
1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义； 2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. 重点:极大、极小值的概念和判别方法. 难点:严格套用求极值的步骤 教材助读
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x0)比它在点x=x0附近其他点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x0)比它在点x=x0附近其他点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)． 利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： （1）如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值. （2）如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f (x0)是极小值. 注意：导数为0的点不一定是极值点． 预习自测
1．函数y=f(x)的导数y?与函数值和极值之间的关系为( ) A.导数y?由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B.导数y?由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C.导数y?由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y?由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.
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人教版高中数学选修1-1学案
合作探究展示点评
探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律?
求f(x)＝1
3x3－x2－3x＋3的极值
探究二：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值． 当堂检测
1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0 B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0 C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0 D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是(
A．a＋b＋c B．3a＋4b＋c C．3a＋2bD．c
3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x( ) A．x＝1时，取得极大值 B．x＝1时，取得极小值 C．x＝－1时，取得极大值 D．无极值点
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于( )
2
)
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24812A. B. C. D. 3333
6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
7．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
1
(1)函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；
21
(2)函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
2(3)函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； (4)当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； 1
(5)当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
2则上述判断中正确的是________． 9．求下列函数的极值．
2x
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2－2.
x＋1
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——★ 参 考 答 案 ★——：
预习自测 1．D
探究一：解：(1)f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，如下表所示： x f′(x) f(x) (－∞，－1) ＋ －1 0 14极大值 3(－1,3) － 3 0 极小值－6 (3，＋∞) ＋ 14∴f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6.
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探究二： 解：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b.
???f′?1?＝0，?3－6a＋b＝0，∴?即? 2＝0，?－1＋3a－b＋a?f?－1?＝0，??
???a＝1，?a＝2，
?解得或? ?b＝3，???b＝9.
当a＝1，b＝3时，
f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数； 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数． 所以f(x)在x＝－1时取得极小值， 因此a＝2，b＝9. 当堂检测
1．[解析]f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.
[答案]C
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2．[解析]由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c. [答案]D
3．[解析]f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立． ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值． [答案]D
4．[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0 ∴a＝5.应选D. [答案]D
5．[解析]函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)， 得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，
f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，4822
即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4－＝. 33
[答案]C
6．[解析]y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)． 令y′＝0得x1＝0，x2＝4. 列表可知y极大＝f(4)＝32＋m＝13. ∴m＝－19. [答案]－19
7．[解析]f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， 由题意f′(x)＝0有两个不等的实根，
故Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，解之得a＞2或a＜－1. [答案](－∞，－1)∪(2，＋∞) 8．[解析]由导函数的图象知：
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(－2,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(2,4)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 在x＝－2时，f(x)取极小值； 在x＝2时，f(x)取极大值； 在x＝4时，f(x)取极小值； 所以只有(3)正确． [答案](3) 三、解答题
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高中数学选修1-1优质学案5：3.3.2 函数的极值与导数
