【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第12章 几何证明选讲AB
卷 文 新人教A版
1.(2015·新课标全国Ⅰ，22)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小.
(1)证明 如图，连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt △AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 连接OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线. (2)解 设CE＝1，AE＝x， 由已知得AB＝23，BE＝12－x.
由射影定理可得，AE＝CE·BE，所以x＝12－x，即x＋x－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.
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2.(2016·新课标全国Ⅰ，22)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.1
以O为圆心，OA为半径作圆.
2(1)证明：直线AB与⊙O相切；
(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆， 证明：AB∥CD.
证明 (1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°， 所以OE⊥AB，∠AOE＝60°， 1
在Rt△AOE中，OE＝AO，
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即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，
所以直线AB与⊙O相切.
(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB. 同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.
3.(2016·新课标全国Ⅱ，22)如图，在正方体ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. (1)证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
(1)证明 因为DF⊥EC，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB，＝
DFCFDEDG＝，所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF，因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所CDCB以B，C，G，F四点共圆.
(2)解 由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连接GB，由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四11
边形BCGF的面积S是△GCB的面积S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2××
221×1＝.
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4.(2016·新课标全国Ⅲ，22)如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD. 解 (1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. ︵︵
因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD.
所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD， 所以3∠PCD＝180°， 因此∠PCD＝60°.
(2)证明 因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心.所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD. 5.(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O是等腰三角形ABC内一点，⊙O
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