圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第二部分 线性代数
第6章 行列式
6.1 考点归纳
一、行列式的定义 1．排列与逆序数
（1）由1,2,L,n组成的有序数组称为一个n阶排列．通常用列．
（2）一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序．一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数．用?(j1,j2,L,jm)表示排列j1j2?jm的逆序数．如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列．
2．行列式的定义
j,j,L,j12n表示n阶排
n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即
a11 a12 L a1na21 a22 L a2n? =?(?1)a1p1a2p2Lanpn
M M Man1 an2 ann其中p1p2?pn为自然数1,2,?,n的一个排列，?为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有n个，因而形如(?1)a1p1a2p2Lanpn的项共有n!项．n阶行列式也简记作detaij，其中
?()数aij为行列式的第i行，第j列元素．
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二、行列式的性质
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 性质1 行列式与它的转置行列式相等． 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号．
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．
性质3 行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘以同一数K，等于用数K乘此行列式．
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面． 性质4 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式等于零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：
a11a12LaaLD=2122MMan1an2L则D等于下列两个行列式之和：
(a1i+a1?i)?i)(a2i+a2LLM?)L(ani+ania1na2n Manna11a12LaaLD=2122MMan1an2La1iLa2iLManiLa1na11a12La2na21a22L+MMMannan1an2La1i?La2i?LMani?La1na2n Mann性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．
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圣才电子书 www.100xuexi.com三、行列式的计算 1．余子式与代数余子式
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n?1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij，记Aij=(?1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代数余子式．
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin(i=1.2,L,n)D=aijAij+a2jA2j+L+anjAnj(i=1.2,L,n)
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即
ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=0,(i?j)a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj=0,(i?j)2．计算行列式的几种主要方法 （1）用n阶行列式的定义． （2）化行列式为上（下）三角法． （3）行列式按行（列）展开法（降阶法）． 3．几个重要结论
在进行行列式的计算时，有几个常用的结论，考生应当记住：
a11a12La22L（1）
Oa11a21a22（2）
MMOan1an2La1na2n=aaLann； M1222ann=a12a22Lann； ann 3 / 11
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 =(?1)n(n?1)2a11a12a21L（3）
MNan1La1na2,n?1a1na2,n?1Lan1；
（4）
a2,n?1an1Nan2La1nn(n?1)a2n=(?1)2a1na2,n?1Lan1； Mann1111x1x2x3L222（5）x1x2x3LMMMn?1n?1x1n?1x2x3L
1xn2． xn=?(xi?xj)（范德蒙行列式）
1?j?i?nMn?1xn6.2 典型题（含历年真题）详解
一、选择题
1．设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，且式
（ ）．[2017研]
A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】
而两边同时去行列式得：
，从
，则A的行列
2．多项式中与的系数依次为（ ）．[2016研]
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 A．－1，－1 B．1，－1 C．－1，1 D．1， 1 【答案】B
【解析】根据行列式定义，行列式是不同行不同列元素乘积的代数和其一般项是
本题的
，又
，也一定没有
项出现意味着每行元素中都有x项出现，因此只能是
，则
项系数为1；对于；又
项，一定不含，则
，那只有是
系数为－1．
13．行列式0041200023000（ ）．[2013研] =34A．48 B．24 C．12 D．0 【答案】D 【解析】
1004
12000230011002=30040?4023002202200=1?033=003=03?404?4?444134．已知四阶行列式D?2411113?180，则3A，其中14+8A24+4A34+2A44=（ ）
4325Aij为行列式D中元素aij的代数余子式．
A．2
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全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-行列式(圣才出品)
