初二数学
【教学进度】
几何第二册第五章 §5.2 [教学内容]
平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]
一、主要知识点
1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析
1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 定理的基本图形 ABFA(D)BCEFAB(E)CFABC图1-（1）DEFL1L2L3DECL1L2L3L1L2L3DL1L2L3图1-（2）图1-（3）图1-（4）∵l1∥l2∥l3 ∴ABDE?BCEFABDE?ACDFBCEF? ACDF①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。 ②为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： ABDE? ， 可以说成“上比下等于上比下” BCEFABDE? ， 可以说成“上比全等于上比全” ACDFBCEF? ， 可以说成“下比全等于下比全”等 ACDF2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形
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AEADABDB图2-(1)∵DE∥BC ∴ CE图2-(3)ECB图2-(2)CDADAE?DBECADAE?ABACDBCE? ABAC①图2—（1），图2—（3）称为“A”型，图2—（2）称为“X”型 ②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3．三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。 （1）这个定理可以用来判定两条直线平行。 （2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 AD4．平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直l1线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。 l2它是一个假命题，如图3，其中AB=BC， BEABDEl3??1，但L1、L2、L3不平行。 DE=EF，则FBCEFC5、三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6），这个图3A定理也叫做相似三角形预备定理 ① DE∥BC ?ADDEAE?? ABBCACDE这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。 CB②当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定图4理也成立。 ③图4是最基本的“A”型，课本例6中有“A”型时常A作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去。 EG[典型例题] F例1、如图5，在△ABC中，D是BC上的点， E是AC上的点，AD与BE交于点F，若AE:EC=3:4， BCD图5BD:DC=2:3，求BF:EF的值。 分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值。 GEAE? DCACAE3AE3EG3? ∴ ? ∴? 又∵
EC4AC7DC7 解：过E作EG∥BC交AD于G，则在△ADC中， 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则
BD22214? ∴ DB=DC??7x?x DC333314xBD314 ∴??
EG3x9 ∵
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又 ∵EG∥BC， ∴BFBD14?? FEEG9AFEF?再应用比例性ABBCF例2、如图6，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD。 分析 根据条件可知BDEF为平行四边形，由EF∥BC，应用相似三角形的预备定理，得A质，即可求出EF即BD。 解：∵ DE∥AB， EF∥BC ∴ 四边形BDEF为平行四边形， ∴ BD=EF EAFEF? ABBCAFBD5BD?? ∴ ∴ AF?BFBD?DC5?3BD?210 解之，得BD=（cm） 3 又∵ EF∥BC， ∴B图6DC例3、如图7，A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED、BC∥FE。 求证：AF//CD E分析 要证明AF//CD，应推导出能使AF//CD的比例线段， COAOF由题中图形可知，应证明，而由AB//ED， ?AOCODBC//FE，容易得到此关系。 BODFOAOBOBOC图7证明：∵AB//ED ∴ ① ∵BC//FE ∴ ② ??OEODOFOE由①得 OA?OD?OB?OE 由②得 OC?OF?OB?OE ∴OA?OD?OC?OF OAOF则 ∴AF//CD ?OCOD点评：本题是采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的， “公比”是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比， MAB有时公比是采用乘积式的形式。 EF例4 如图8 梯形ABCD中，AB//CD，M为AB的中点， 分别连结AB、BD、MD、MC，且AC与MD交于 CD图8E，DB与MC交于F，求证EF//CD 分析：要证EF//CD，可根据三角形一边平行线的判定定理证明， 首先观察EF、CD截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。 CDDEDECFCDCF??证明：∵AB//CD ∴， 又∵AM=BM ∴ ∴EF//CD ?MBFMAMEMEMFM点评 利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为： （1）首先观察欲证平行线截哪个三角形 （2）再观察它们截这个三角形的哪两边 （3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可
当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段）的比作为中间比 例5 如图9，A?,B?,C?,分别在△ABC的三边BC、AC、AB上 A或其延长线上，且AA?//BB?//CC?
111B求证： ??C???AABBCC分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， BAC图9一般情况下，要将其转化为线段比的形式。
CC?BC?CC?AC?证明：∵CC?//AA? ∴ ∵CC?//BB? ∴ ??AA?BABB?ABCC?C?CBC?AC?BC??AC?111 ∴ ?????1 ∴?????AA?BB?BAABABAABBCC3 / 6
点评 对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角111CC?CC???形有关性质进行求解，如本题中，要证，只需证??1，即将倒数和的形式化AA?BB?AA?BB?CC?为线段比的形式。 例6 如图10 四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于E， ABCADEF//CD交BC于F，求证：??1 BFABEDB分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比， 再进行减法运算。 FADDEC图10证明：∵AE平分∠BAD ∴ ① ?ABBE在△BCD中 ∵EF//CD ∴②—①得 DBCB?② BEBFBCADDBDEBCAD????1 ∴??1 BFABBEBEBFABA例7 如图11，AD为△ABC的角平线， BF⊥AD的延长线于F，AM⊥AD于A E交BC的延长线于M，FC的延长线交AM于E， 求证：AE=EM 分析 要证AE=EM，可利用比例缎来证明，而由BF⊥AF， BDM可延长BF交AC延于N，构造等腰三角形， FN C图11利用等腰三角形性质有BF=FN，再由BN//AM， 得比例线段，即可得出结论。 证明：延长BF交AC的延长线于N ∵AF⊥BF ∴∠BFA=∠NFA=900 又∵∠BAF=∠NAF，AF=AF ∴△ABF≌△ANF ∴BF=NF ∵BF⊥AF AM⊥AF ∴BF//AM ∴∴BFFCENFC??， EMECAECEBFFN 又∵BF=FN ∴EM=AE ?EMAE点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题 （2）利用比例证明线段相等主要有以下形式 aacM①?1?a?b ②??a?c bbbE3aac?ac?????D③bd??a?c ④bd??b?d 2aABb?d?a?c???图12例8 如图12 把线段AB分成2：3两部分 分析 利用平行线分线段成比例定理作图 作法；1. 以点A为端点，作射线AM 2. 在AM上顺次截AD=2a，DE=3a（a为任意长） A3. 连结BE，过点D作DC//BE交AB于C，则点C即为所求 [练习与测试] ED1． 如图△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上， 且DE//BC，EF//AB，AD=9，EF=6，CF=5， BCF则BF= (第1题)2． 直线DE分别交△ABC的边AB、AC于点D、E， 且AD=4cm，AE=6cm、AB=12cm，AC= 那么DE//BC EAAD23． 如图DE//BC ?， FDB3B(第4题)C4 / 6 CADEB(第3题)CDEAOB(第5题)CDACDE= ? ECBCDC4．如图在 ABCD中，E在AD上， FEBF且4AE=5DE，CE交BD于F，则? DFGHFAD5． 如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线 O3BO2AC、BD相交于O，CE//AB交BD的延长线于E， AO1(第6题)若OB=6，OD=3，则DE= BECGAl16． 如图，已知DC//EF//GH//AB， (第7题)AAB=30，CD=6，且DE：EG：GA=1：2：3， FE则EF= GH= EDl27．如图，在 ABCD中， BCDO1、O2、O3分别为对角线BD上三点， (第8题)CB且BO1=O1O2=O2O3=O3D，连结AO1，并延长交BC于E， (第9题)A连结EO3，并延长交AD于点F，则AD：FD= DAE2G8． 图，l1//l2,AF?GB，BC=4CD， 5BCFED若AE=k?EC，则k= NM(第10题)9． 如图，CD是△ABC的角平分线， BCADAE2点E在AC上，??，AC=10，求DE (第13题（1）)ADADABAC5FE10． 如图，CD是△ABC中，E为AC的中点， MNFEBCAGD为BC上的点，且BD=AB，求证： ?（N）MABGD11． 已知，C是线段AB上一点，分别以AC、BC CBCB（ （第13题（2）—②）为边，在AB的同侧作两个等边三角形ACD和BCE， （第13题（2）—①）M EFAE交CD于F，BD交CG于G，求证FG//AB N12． 已知，BD为△ABC的角平分线，DE//BC， AD111交AB于E，求证： ??ABBCDE13．已知，如图（1），梯形ABCD中， BCAD//BC，E、F分别在AB、CD上， （第13题（2）—③）且EF//BC，EF分别交BD、 AC于M、N。 ① 求证ME=NF
② 当EF向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
[练习与测试参考解答或提示]
15521．；2．18cm； 3．,； 4．9：4； 5．9； 6．10，18； 7．9：1； 8．2； 9．6
235那么 10．提示，过D作DH//AC交BG于H点，则
BCECAGAE??，，又AE=EC，BD=AB，即可GDDHBDDH5 / 6
得结论。
11．略证，由∠DCA=∠EBA=600，有CD//BE，则
则
EGEF，所以FG//AB ?CGAFEFCEBEEG，同理，而EB=CE，CD=AD， ??AFADCDCGDEAE12．略证，由DE//BC，有∠EDB=∠DBC，，又∠ABC=∠DBC，所以∠EDB=∠ABD，则BE=DE， ?BCABDEDEBEAEAB所以?????1
ABBCABABABEMBECFNF13．①由AD//EF//BC，有，EM=NF ②仍成立，证明同①。 ???ADABCDAD6 / 6
初数学平行线分线段成比例定理
