专题三 立体几何
第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 空间几何体的结构特征、直观图、几何运算、数学文化·T16 全国卷Ⅲ 空间两直线的位置关系的判定·T8 简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积·T16 三视图与数学文化·T3 与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T10 球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T8 2019 三棱锥的外接球、球的体积·T12 空间几何体的三视2018 图、直观图及最短路径问题·T7 空间几何体的三视图2017 与直观图、面积的计算·T7 圆锥的性质及侧面积的计算·T16 空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4 (1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．
(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第12或16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图
[例1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如
图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
(2)(2019·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )
A．
5
2
B．2 3D．
2
35C．
5
(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
33A．
432C．
4[解题方略]
1．识别三视图的步骤
(1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置； (2)根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； (3)被遮住的轮廓线应为虚线． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面；
(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置；
(3)确定几何体的直观图形状．
3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路
先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
4．常见三类空间几何体的截面图 轴截面、横截面与斜截面：
利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决．
[多练强化]
1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．217 C．3
B．25 D．2 B．
23
33 2
D．
2．已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．
考点二 几何体的表面积与体积 题型一 求空间几何体的表面积
[例2] (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )
A．83 C．62＋23
B．8＋83 D．8＋62＋23
(2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如544≈23，550≈23)( )
A．250平方尺 C．1 035平方尺 [解题方略]
求几何体的表面积的方法
1．求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
2．求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．
题型二 求空间几何体的体积
[例3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为______．
B．990平方尺 D．518平方尺
[解题方略]
求空间几何体体积的常用方法 公式法 等积法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算 根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体 [多练强化] 1．(2019·重庆市学业质量调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
割补法
32A. 3128C. 3
B．
64 3160 3
D．
2．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．3034 C．3034＋135
B．6034 D．135
3．已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1
∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为________．
考点三 与球有关的切、接问题 题型一 外接球
[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．86π C．26π [解题方略]
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，
B．46π D．6π
确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
题型二 内切球
[例5] 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该7
三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该
8三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )
7πA. 62πC. 3[解题方略]
求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．
题型三 与球有关的最值问题
[例6] (2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．123 C．243 [解题方略]
多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题．
[多练强化]
1．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
8A．π
3C．16π
B．
32π 3B．183 D．543 B．
4π 3π 2
D．
D．32π
2．(2019·福建五校第二次联考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为______．
3．已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O的体积为______．
直观想象——三视图中相关问题的求解
[典例] 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )
A．2π＋4 2πC.＋4 3[素养通路]
本题以组合体的三视图为背景，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．
[专题过关检测]
A组——“12＋4”满分练
一、选择题
1．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )
B．4π＋2 D．
4π
＋8 3
2．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1木块的直观图如图所示，平面α过点D且平行于平面ACD1，则该木块在平面α内的正投影面积是( )
A.3 C.2
B．
3
3 2
D．1
3．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于( )
1A. 2C．2
B．1 D．4
4．设球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为( )
3A. 2
B．3
5．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A-BC1M 的体积VA-BC1M＝( )
1A. 21C. 6
1B．
4D．
1 12
1111
解析：选C VA-BC1M＝VC1-ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故选C.
33266．(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
2
A.π 3C．2π
4B．π
3D．25π
7．在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为
A.6 C．6
236
，，，则该三棱锥的体积为( ) 222
B．
6
6
D．26
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π πC. 2
B．
3π 4π 4
D．
9．若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切
球．已知正四面体的棱长为2，则它的棱切球的体积为( )
A．
3π 54
B．
π 63π 2
πC．
3
D．
10．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝3，AC＝3.若三棱锥D-ABC体积33
的最大值为，则球O的表面积为( )
4
A．36π C．12π
B．16π D．
16π 3
11．已知一个半径为7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是( )
A．18 C．12
B．16 D．8
12.(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )
3πA. 43πC. 2二、填空题
13．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为______．
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为______．
15．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为______．
B．2π D．
9π
4
16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为______．
B组——“5＋3”提速练
1.(2019·合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )
A．2对 C．4对
B．3对 D．5对
BP1
2．在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段
PD12B1C1上的动点，则三棱锥M-PBC的体积为( )
A．1 9C. 2
3B．
2
D．与M点的位置有关
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为( )
10，? A.??3?1?C.??2，1?
1
0，? B．??2?12?D．??2，3?
4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )
A．22 C．23
B．3 D．4
5．(2019·郑州市第二次质量预测)在△ABC中，已知AB＝23，BC＝26，∠ABC＝45°，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，设BM＝x，则x的取值范围是( )
A．(0，23)
B．(3，6)
C．(6，23) D．(23，26)
6.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B-ACC1D的体积为________．
7．已知在正四棱锥S-ABCD中，SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．
8．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．
高考数学二轮立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
