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2016考研数学（一）真题及答案解析
考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设?xn?是数列下列命题中不正确的是（ ） （A）若limxn?a，则limx2n?limx2n?1?a
n??n??n??（B）若limx2n?limx2n?1?a，则limxn?a
n??n??n??（C）若limxn?a，则limx3n?limx2n?1?a
n??n??n??（D）若limx3n?limx3n?1?a，则limxn?a
n??n??n??【答案】（D） （2）设y?特解，则
（A）a??3,b?2,c??1 （B）a?3,b?2,c??1 （C）a??3,b?2,c?1 （D）a?3,b?2,c?1 【答案】（A）
【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出a??3,b?2,c??1。故选A。 （3）若级数（ ）
（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点 【答案】（A） 【解析】因为级数
?12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex的一个23?axnn?1?n在x?2处条件收敛，则x?3与x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的
n?1??axnn?1n在x?2处条件收敛，所以R?2，有幂级数的性质，
?na(x?1)nn?1?n的收敛半径也为R?2，即x?1?3，收敛区间为?1?x?3，则收敛域为
? Born To Win
?1?x?3，进而x?3与x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的收敛点，收敛点，故选A。
n?1（4）下列级数发散的是（ ） （A）
n ?n8n?1?（B）
?n?1?11ln(1?)
nn(?1)n?1（C）?
lnnn?2?（D）
n! ?nn?1n?【答案】（C）
【解析】（A）Sn?u1?u2?...?un?12n?2?...?n， 888112n7111n817nSn?()2?3?...?n?1?Sn??2?...?n?n?1?Sn?(1?()n)?n，88888888849888limSn?存在，则收敛。 n??49?1111(B)un?ln(1?):3??3收敛，所以（B）收敛。
nnn?12n2n?(?1)n?1?(?1)n?1(?1)n?1????（C）?，因为?分别是收敛和发散，所以,?lnnlnnlnnn?2n?2n?2n?2lnnn?2lnn?(?1)n?1发散，故选（C)。 ?lnnn?2?un!?n?（D)un?n,limn?1?lim??e?1?1，所以收敛。 ?nn??unn???n?1??111??1?????（5）设矩阵A?12a,b??，若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷????22???14a??????多解的充分必要条件为（ ） （A）a??,??? （B）a??,??? （C）a??,??? （D）a??,??? 【答案】（D）
【解析】Ax?b有无穷多解?r?A??rA?3,?A?0，即(a?2)(a?1)?0，从而
n??
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a?1或a?2
?111M1??11当a?1时，A???121M???11M???1??41M?2????010M???000M?2?3??2?
?1??从而?2?3??2=0??=1或?=2时Ax?b有无穷多解
?111M1??1111当a?2时，A???122M????M?011M??1??144M?2????
????000M?2?3??2??从而?2?3??2=0??=1或?=2时Ax?b有无穷多解 所以选D.
（6）二次型f(xx2221,x2,3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3，其中
P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，f(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准型为（（A）2y22y21?y2?3 （B）2y2221?y2?y3
（C）2y2?y2212?y3 （D）2y2221?y2?y3
【答案】（A）
【解析】由已知得f(xYTPTAPY?2y2221,x2,x3)?1?y2?y3，Q?PE23E2(?1)，
从而
f(xTTT1,x2,x3)?YQTAQY?YTE2(?1)E23PTAPE23E2(?1)Y??YTE1)E?1)Y?2y222?100??2(?23PTAPE23E2(1?y2?y3，其中E23??001，
?10??0???100?E1)???0?10?2(???均为初等矩阵，所以选A。
?001??
（7）若A,B为任意两个随机事件，则 （A）P(AB)?P(A)P(B) （B）P(AB)?P(A)P(B)
（C）P(AB)?P(A)?P(B)2
（D）P(AB)?P(A)?P(B)2
【答案】（C）
）
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【解析】排除法。若AB??，则P(AB)?0，而P(A),P(B)未必为0，故
P(A)P(B)?P(AB),P(A)?P(B)?P(AB)，故B,D错。
2若A?B，则P(AB)?P(A)?P(A)P(B)，故A错。
（8）设总体X?B(m,?),X1,X2,X3为来自该总的简单随机样本，X为样本均值，则
?n?E??(Xi?X)2?? ?i?1?（A）(m?1)n?(1??)
（B）m(n?1)?(1??) （C）(m?1)(n?1)?(1??) （D）mn?(1??) 【答案】（B） 【解析】
2??1nE?X?X?ES2?DX?m?(1??)???i??n?1i?1????E???Xi?X???m(n?1)?(1??)?i?1?2n
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上)． ．．．
ln(cosx)?_____.
x?0x21【答案】?
2（9）limsinxlncosxcosx??1limsinx??1 【解析】lim?limx?0x?0x22x2x?0xcosx2??sinx? (10) ?2???x?dx?_______.
??2?1?cosx?【答案】【解析】
????sinxsinx?2?sinx?2222 ?x?dx???dx???xdx???dx?2?xdx????2?0?1?cosx??1?cosx1?cosx4??2222?24
? (11) 若函数z?z(x,y)有方程e?xyz?x?cosx?2确定，则dz【答案】?dx
z(0,1)?_______.
【解析】对e?xyz?x?cosx?2两边分别关于x,y,z求偏导，并将(0,1)这个代入，得到
z
(0,1)??1, Born To Win
?z?x?z?y(0,1)?0，所以dz(0,1)??dx。
（12）设? 是由 x?y?z?1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则
????x?2y?3z?dxdydz?
?【答案】
14
1【解析】由对称性，
????x?2y?3z?dxdydz?6???zdxdydz?6?zdz??dxdy,
??0DZ其中
DZ 为平面 z?z 截空间区域 ?所得的截面
其面积为 所以：
111232x?2y?3zdxdydz?6zdxdydz?6z(1?z)dz?3z?2z?zdz? ????????????0024??11(1?z)22
20L?12L(13) n阶行列式MMO002200【答案】2n?10L0LMM?_______ 22?12?2
【解析】按第一行展开得
2016考研数学（一、二、三）真题及答案解析
